1. MATEMATIKA ELŐADÁS Halmazok, Függvények

Halmazok Halmaz: A halmaz és a halmaz eleme nem definiált matematikai alapfogalmak. Akkor mondjuk dolgok összességére, hogy halmazt alkotnak, ha bármely dologról egyértelműen eldönthető, hogy benne van-e az adott halmazban – azaz eleme-e a halmaznak – vagy sem. Jelölések: A halmazokat általában nyomtatott latin nagybetűkkel jelöljük (pl. A, B, C, …), és a halmaz „utasítását” kapcsos zárójelbe ({}) tesszük. x  A jelentése: x eleme az A halmaznak.

Egy halmazt megadhatunk: az elemeinek felsorolásával, ilyenkor minden elemet csak egyszer írunk le; szöveges utasítással; matematikai jelekkel. A különböző halmazok közötti viszonyt sokszor halmazábrával, ún. Venn-diagrammal szemléltetjük.

Halmaz számossága: Véges halmaz számossága a benne szereplő elemek száma. Jelölése: az A véges halmaz számossága: |A|. Üres halmaz: Azt a halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jelölés: Ø vagy {}. Egyenlő halmazok: Két halmaz egyenlő, ha pontosan ugyanazok az elemeik. Jelölés: A = B. Részhalmaz: Ha A halmaz minden eleme, egyben eleme B halmaznak is, akkor A halmaz részhalmaza B halmaznak. Jelölés: A  B (pl. populáció – minta) Halmaz komplementere: Egy H nem üres halmaznak (alaphalmaz) részhalmaza az A halmaz. Az A halmaz H-ra vonatkozó komplementere a H halmaz azon elmeinek halmaza, amelyek nem elemei az A halmaznak. Jelölés:

Halmazműveletek Halmazok metszete: Az A és B halmaz metszete azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei. Jelölés: A  B Diszjunkt halmazok: Ha A és B halmaz metszete az üres halmaz, akkor azt mondjuk, hogy A és B diszjunkt (különálló) halmazok. Halmazok uniója: Az A és B halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek a két halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Jelölés: A  B Halmazok különbsége: Az A és B halmaz különbsége A azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei a B halmaznak. Jelölés: A \ B Halmazok Descartes-szorzata: Az A és B halmaz Descartes-szorzatán (vagy direkt szorzatán) azt a halmazt értjük, melynek azon rendezett párok az elemei, amiknek első eleme A-beli, második eleme pedig B-beli és a szorzat minden lehetséges párt tartalmaz. Jelölés: A × B (koordináta rendszer megadása)

Számhalmazok (műveletek) Természetes számok: N = {0; 1; 2; 3; ...}, tehát a 0 és a pozitív egész számok Egész számok: Z = {... –2; –1; 0; 1; 2 ...} Racionális számok (törtek): Q = {n/k |n, k  Z, k ≠ 0}. A racionális számok azok a számok, amelyek előállnak két egész szám hányadosaként úgy, hogy a nevezőben álló szám nem lehet 0. Valós számok: R az összes szám a számegyenesen. Irracionális számok: Q* = R \ Q, tehát azok a valós számok, amelyek nem racionálisak.

Függvények Függvény: Adottak az A (alaphalmaz) és K (képhalmaz) nem üres halmazok. Ha mindegyik A halmazbeli elemhez hozzárendeljük K-nak legfeljebb egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz azon legbővebb részhalmazát, amelynek elemeihez rendelünk K-beli elemet, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. A K halmaz azon legbővebb részhalmazát, amelynek elemeit hozzárendeljük az A-beli elemekhez értékkészletnek nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában írott kis betűvel jelöljük: f, g, h,… Az f függvény értelmezési tartományát az ÉT vagy Df jellel (az alsó indexben a függvény betűjele áll), értékkészletét az ÉK vagy Rf jellel jelöljük.

Helyettesítési érték: Azt az elemet, amelyet az f függvény az értelmezési tartományának x eleméhez rendel, az f függvény x helyen vett helyettesítési értékének nevezzük. Jelölés: Az f függvény x helyen vett helyettesítési értékét f(x)-szel jelöljük. Inverzfüggvény: Egy függvény megfordítható vagy idegen szóval invertálható, ha megfordítása is függvény. Ez esetben a függvény megfordítását a függvény inverzének nevezzük. Jelölés: Az f függvény inverzének jelölésére az f-1 jelölést használjuk. Egy függvény pontosan akkor megfordítható, ha megfordítása is egyértelmű, azaz az értékkészlet minden elemét pontosan egy értelmezési tartománybeli elemhez rendeljük hozzá. Ilyenkor az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei párba állíthatók úgy, hogy minden értelmezési tartománybeli elemhez pontosan egy értékkészletbeli elem tartozik és minden értékkészletbeli elemhez pontosan egy értelmezési tartománybeli elem tartozik. Azaz a függvény kölcsönösen egyértelmű (egy-egyértelmű) megfeleltetést létesít a két halmaz (az értelmezési tartomány és az értékkészlet) elemei között. (Injektív – szűrjektív – bijektív)

Függvény grafikonja: Az f függvény grafikonja azon (x; f(x)) koordinátájú pontok összessége, amelyekre igaz, hogy x az f függvény értelmezési tartományának eleme. Zérushely: Az f függvénynek az értelmezési tartományának x0 helyén zérushelye van, ha f(x0) = 0. Monotonitás: Az f függvény monoton nő, ha értelmezési tartományának bármely két x1, x2 elemére igaz, hogy ha x1 < x2, akkor f(x1) ≤ f(x2). Az f függvény szigorúan monoton nő, ha értelmezési tartományának bármely két x1, x2 elemére igaz, hogy ha x1 < x2, akkor f(x1) < f(x2). Az f függvény monoton csökken, ha értelmezési tartományának bármely két x1, x2 elemére igaz, hogy ha x1 < x2, akkor f(x1) ≥ f(x2). Az f függvény szigorúan monoton csökken, ha értelmezési tartományának bármely két x1, x2 elemére igaz, hogy ha x1 < x2, akkor f(x1) > f(x2).

Szélsőértékek: Az f függvénynek abszolút maximumhelye van az értelmezési tartományának x0 helyén, ha a többi értelmezési tartománybeli x-re igaz, hogy f(x) ≤ f(x0). Ekkor az f(x0) értéket az f függvény szélsőértékének (abszolút maximumának) nevezzük. Az f függvénynek abszolút minimumhelye van az értelmezési tartományának x0 helyén, ha a többi értelmezési tartománybeli x-re igaz, hogy f(x) ≥ f(x0). Ekkor az f(x0) értéket az f függvény szélsőértékének (abszolút minimumának) nevezzük. Periodicitás: Az f függvény periodikus, ha létezik olyan p  R+, amelyre igaz, hogy tetszőleges x  Df és n  N esetén x  np  Df és f(x  np) = f (x). A legkisebb megfelelő tulajdonságú p számot az f függvény periódusának nevezzük.

Alapfüggvények

Polinom függvények

Függvénytranszformációk Változó (belső) transzformációk Érték (külső) transzformációk

Példa: EMG rektifikálása

Rectification - Típusok Raw EMG Full-wave Rectified EMG Half-wave Rectified EMG Delete

Nyers jel Feldolgozott jel

Példák Lineáris regresszió Út – idő Emg – idő M – ízületi szög Erő – sebesség (Hill)

(F + a) (v + b) = constant = b (Fo +a) Hill karakterisztikus egyenlet Súly mozgatása (F + a) (v + b) = constant = b (Fo +a) v (F + a ) = b (Fo - F) Forgatónyomaték (M + a) ( + b) = constant = b (Mo +a) ω

Hill-egyenlet matematikai értelmezése (F+a)(v+b)=b(F0+a)=konstans Fv+Fb+av+ab=b(F0+a) F(v+b)=b(F0+a)-av-ab F(v+b)=b(F0+a)-a(v+b)         Hiperbola egyenlete

    -b F0 -a   -b v0 -a -b b(F0+a)=a(v0+b)   bF0+ba=av0+ab bF0=av0 -a

Feladatok