Katz Sándor: Módszertani szempontból fontos feladatok

kialakításában, tisztázásában, elmélyítésében. Olyan feladatokat vizsgálunk, amelyek segítenek fogalmak, tételek kialakításában, tisztázásában, elmélyítésében.

Miért /most/ fontosak ezek a feladatok? Kinek szólnak ezek ?

1. probléma Műveletek tulajdonságainál az asszociativitást: (a o b) o c = a o (b o c) (1.) a tanulók időnként kiegészítik pl így: (a o b) o c = a o (b o c) = (a o c) o b. (2.) Adjunk példát olyan műveletre, amelyre (1.) igaz, de (2.) nem!

ezért (a o b) o c  (a o c) o b. Másképp: Adjunk meg olyan műveletet, amely asszociatív, de nem kommutatív! Tehát olyat, amelyre (a o b) o c = a o (b o c). de a o b  b o a , ezért (a o b) o c  (a o c) o b.

(a o b) o c  (a o c) o b. Adjunk meg olyan o műveletet, amelyre

Mi is az a kétváltozós művelet? Van két „bemenő” elem, és egy „kijövő”. (a;b)  c

Az (a;b)  b művelet asszociatív, de nem kommutatív. Valóban: (a o b) o c = a o (b o c).

de (a o b) o c  (a o c) o b

2. probléma Adott körbe írjunk maximális területű konvex hatszöget!

Tegyük fel, hogy a hatszögnek van két különböző oldala! Ekkor a terület növelhető:

Tehát a legnagyobb területű beírt konvex hatszög a szabályos hatszög. Következtetés: Ha a konvex hatszögnek nem minden oldala egyenlő, akkor nem lehet a legnagyobb területű. Tehát a legnagyobb területű beírt konvex hatszög a szabályos hatszög. Mi a véleményük a következtetésről?

Egy eljárás maximum keresésére: Adott egy A számhalmaz, és keressük ezen halmaz legnagyobb elemét. Ennek érdekében megadunk egy ezen a halmazon értelmezett hozzárendelést, amely egy aA számhoz önmagát rendeli, de az A halmaz minden más b eleméhez a halmaznak egy b-nél nagyobb elemét rendeli hozzá. Tehát a-n kívül egyik sem lehet a halmaz legnagyobb eleme, mert ezeknél az elemeknél van van nagyobb. Tehát a a halmaz legnagyobb eleme.

Ellenpélda: , azaz A={1, 2, 3, …} és legyen a hozzárendelés Legyen Ez a hozzárendelés n=1-hez önmagát, minden más n-hez nála nagyobbat rendel. Ha fenti eljárás jó, akkor n=1 a halmaz legnagyobb eleme, ami nyilván nem igaz.

Hol a hiba? A fenti módszer jó véges halmazok esetén. Végtelen halmaznak nem biztos, hogy van legnagyobb eleme. Ha van legnagyobb elem, akkor is jó az eljárás, de bizonyítani kell, hogy létezik legnagyobb elem. (Izoperimetrikus probléma.)

Megmenthető-e a beírt hatszögre vonatkozó bizonyítás? Az egyik lehetőség, hogy bizonyítjuk az analízis eszközeivel, hogy van legnagyobb területű beírt hatszög. Nem ezt tesszük. Ehelyett tetszőleges hatszögből fokozatos közelítéssel jutunk el a szabályos hatszöghöz, úgy, hogy a terület közben nő.

Megjegyzés: A maximális területű konvex hatszög belsejében tartalmazza a kör középpontját. Ha nem tartalmazná, akkor a területet lehetne növelni.

Az oldalakhoz tartozó középponti szög lesz a vizsgált mennyiség. Ha az oldalak nem mind egyenlők, akkor létezik olyan  és β középponti szög, hogy egyik kisebb 60°-nál, a másik nagyobb. Addig közelítsük ezeket egymáshoz, amíg egyik 60°-os lesz.

A következőkben két egyenletet oldunk meg, amelyek mindegyikénél a megoldás menete jónak látszik, de a kapott gyökkel mégis valami gond van. 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! = 2 (1.)

Emeljük köbre mindkét oldalt az azonosságot használva! Helyettesítsünk az eredeti egyenlet szerint helyére 2-t:

Folytatás: A második tényezőnek nincs zérushelye, ezért az egyetlen megoldás x = 2. Számoljunk utána!

(1.)-nek és (2.)-nek még nem gyöke, de (3.)- nak már gyöke Miért jöhet be az eredeti egyenlet visszahelyettesítésénél hamis gyök? Ennél a visszahelyettesítésnél azt mondhattuk volna helyesen, hogy ha az eredeti egyenletnek van gyöke, akkor a bal oldal 2-vel egyenlő.

2. Egyenlet 2. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

Alkalmazzuk a azonosságokat! A kapott gyökök kielégítik az (1.) egyenletet.

A kapott gyökök jók, de az is látható, hogy is kielégíti. Hogy lehetséges ez, hol veszett el ez a gyök? A azonosságok alkalmazásánál az értelmezési tartomány szűkebb lesz!

Ezért ezeknek az azonosságoknak az alkalmazásakor meg kell vizsgálni, nem vesztettünk-e gyököt, azaz hogy azok a számok, amelyekkel az értelmezési tartomány szűkebb lett, megoldásai-e az eredeti egyenletnek. Látható, re az azonosságok bal oldalai értelmezettek, a jobb oldalak nem, ezért az eredeti (1.) egyenletnek ez gyöke, de (2.)-nek és a következőknek már nem. Tehát az (1.) egyenlet gyökei és , ahol .

Különleges függvények A továbbiakban néhány érdekes függvényt vizsgálunk, amelyek segítenek fogalmak szétválasztásában, függvények vizsgálatával kapcsolatosan gyakran előforduló hibák kiküszöbölésében

Kölcsönösen egyértelmű szigorúan monoton A egyenletnél a gyakorlottabb tanulók nem helyettesítenek be, hanem arra hivatkoznak, hogy ha az f(x)=g(x) egyenlet mindkét oldalára ugyanazt a h kölcsönösen egyértelmű, mindenütt értelmezett függvényt alkalmazzuk: h(f(x))=h(g(x)), akkor ekvivalens egyenlethez jutunk.

egyenlet ekvivalens az f(x)=g(x) Ugyanígy, ha h kölcsönösen egyértel-mű, mindenütt értelmezett függvény, akkor „elhagyható”: vagyis a h(f(x))=h(g(x)) egyenlet ekvivalens az f(x)=g(x) egyenlettel. Pl. a egyenlet ekvivalens a 2x-3 = x egyenlettel. Itt azonban nem a kölcsönösen egyértelműségre, szoktak hivatkozni hanem arra, hogy a függvény szigorúan monoton növekvő.

Mi a kapcsolat a kölcsönösen egyértelműség és pl Mi a kapcsolat a kölcsönösen egyértelműség és pl. a szigorúan monoton növekedés között? 1.Létezik-e olyan R-en értelmezett függvény, amely szigorúan monoton növekvő, de nem kölcsönösen egyértelmű? 2.Létezik-e olyan függvény, amely kölcsönösen egyértelmű, de nem szigorúan monoton?

Kölcsönösen egyértelmű, de nem monoton

Egyenleteknél kerüljük a szigorúan monotonitásra való hivatkozást! Ha az  2x-3=x átalakításnál azt mondjuk hogy ez elvégezhető, mert az 1/x függvény szigorúan monoton, akkor ez hibás állítás. A helyes indoklás: Ez az átalakítás elvégezhető, mert az 1/x függvény kölcsönösen egyértelmű.

Kérdés 2.Létezik-e olyan függvény, amely kölcsönösen egyértelmű, de egyetlen intervallumon sem szigorúan monoton?

függvény kölcsönösen egyértelmű, de Az f: függvény kölcsönösen egyértelmű, de egyetlen intervallumon sem monoton. 2

Dirichlet-típusú függvények Az f: „eredeti” Dirichlet-féle függvény egyetlen intervallumon sem folytonos, egyetlen intervallumon sem integrálható.

függvény csak egyetlen pontban folytonos. Az f: függvény csak egyetlen pontban folytonos. Grafikonja alapján lehetne páros és páratlan is. Melyik igaz?

Az f: függvény egyetlen intervallumon sem korlátos. Az f: függvény egyetlen intervallumon sem folytonos, mégis integrálható! Minden racionális pontban szakadása van, de minden irracionális helyen folytonos.

Egy különösen érdekes függvény Az f: A hozzárendelésről először azt lássuk be, hogy függvény! (Azaz, ha egy szám előállítható a+b alakban, akkor ez csak egyféleképp lehetséges.) Hogy nézhet ki ennek a függvénynek a grafikonja?

Íme a grafikon! Olvassuk le a grafikonról függvény tulajdon- ságait! Páros? Páratlan? Periodikus?

Sierpinski: E függvény grafikonjának pontjai a síkban mindenütt sűrűn helyezkednek el, azaz a sík bármely P(x; y) pontjának bármely környezetében a függvény grafikonjának végtelen sok pontja van. Megmutatjuk, hogy a sík tetszőleges P(x; y) pontjához megadhatók olyan an és bn racionális számsorozatok, hogy és .

Ha vannak ilyen sorozatok, akkor azokat a következőképpen határozhatjuk meg: szorozzuk meg az első egyenlőséget - vel, és vonjuk ki belőle a másodikat, majd a másodikat szorozzuk -vel, és az elsőt vonjuk ki belőle. Azt kapjuk, hogy az an, bn sorozatokra a következőnek kell teljesülni: és

, Tetszőleges P(x; y) pont, azaz (x; y) számpár esetén megadható a fenti feltételeknek eleget tevő an és bn racionális számsorozat. Tehát a sík tetszőleges P(x; y) pontjához a függvény-grafikon pontjainak koordinátákkal meghatározott sorozata konvergál.

Legyen a sík egy pontja pl.: P(6;3), ekkor lim an=3 -6 ≈ -1,7574 és lim bn=6 -3 ≈ 5, 4853 Közelítsük an-t és bn-t a megfelelő tizedes jegyekkel: a1=-1, a2=-1,7, a3=-1,75 a4=-1,757, a5=-1,7574 b1=5, b2=5,4, b3=5,48 b4=5,485, b5=5,4853 x1=6,1 x2=5,94 x3=5,9998 x4=5,99996 x5=5,99998 y1=3,6 y2=2,995 y3=3,005 y4=3,0002, y5=2,99996

A típusú függvények A folytonosság, differenciálszámítás témakörben fontos mintapéldákat adhatunk meg fenti típusú függvényekkel.

típusú differenciálható függvények

A szélsőérték létezésének szükséges fel-tétele-e az, hogy a derivált előjelet váltson? Ez a derivált nem vált előjelet a 0 helyen mert az első két tag 0-hoz tart, de a harmadik 0 bármely környezetében minden -1 és 1 közötti értéket felvesz.

Mi a szükséges és elegendő feltétel? Annak, hogy egy differenciálható függvénynek x0-ban szélsőértéke legyen, szükséges feltétele, hogy f’(x0) =0. Ha a derivált x0-ban előjelet vált, ez elegendő feltétele, hogy legyen szélsőérték. De ez utóbbi feltétel nem szükséges. Az előbbi példában adott függvénynek az x0=0 helyen minimuma van, de a deriváltja nem vált előjelet.

Néhány konstrukciós feladat 1. Adj meg olyan R-en értelmezett függvényt, amelynél egyetlen xo pontban sem létezik, de és létezik! 2. Adj meg olyan R-en értelmezett f függvényt, amely minden valós számra értelmezett, egyetlen pontban sem folytonos, de | f | mindenütt folytonos! 3. Adj meg olyan R-en értelmezett függvényt, - amely, felülről korlátos, de - egyetlen intervallumon sem veszi fel maximumát. 4. Adj meg olyan R-en értelmezett függvényt, amely, - csak egyetlen pontban differenciálható!

Néhány konstrukciós feladat 5. Adj meg olyan R-en értelmezett f függvényt, amely minden valós értéket pontosan kétszer vesz fel ! 6. Mutassuk meg, hogy a Dirichlet-féle függvény periodikus! Milyen számok lehetnek a periódusai, van-e a függvénynek legkisebb periódusa? 7. Adjunk meg olyan függvényt, amely periodikus, nincs legkisebb periódusa, és végtelen sok különböző értéket vesz fel! (KöMaL, 1978. évi 7. szám P. 308.)

Látszik … Adott egy kör kerületén n pont. A pontokat összekötő húrok legfeljebb hány részre osztják a kört?

Pontok részek száma száma n= 1 k= 1 n= 2 k= 2 n= 3 k= 4 n= 4 k= 8 Látszik, hogy k = … ? 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 14

Pontok részek száma száma n=6 k=31 (!) Hova lett a 32-edik rész? 31 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Hova lett a 32-edik rész?

Számoljuk össze a részek számát, ha a kerületen n pont van! Kezdetben volt 1 rész Minden új húr, 1 új rész: húr új rész. Minden új metszéspont, 1 új rész: metszéspont új rész. Összesen: rész.

Honnan ismerős a kifejezés? Miért „duplázódtak” az eredmények egy ideig? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Néhány további feladat arra, amikor egy szabály „sokáig” jónak látszik 1. Legfeljebb hány részre osztja a síkot n kör? 0 kör 1 rész 1 kör 2 rész 2 kör 4 rész 3 kör 8 rész n kör ?

2. Igaz-e hogy a) b) minden n-re prímszámot állít elő? a) prím lesz, ha n = 0, 1, 2, ... , 40 b) prím lesz, ha n = 0, 1, 2, ... , 79

Dobókockák problémája Két kockára felírjuk véletlenszerűen az 1, 2, 3, ..., 12 számokat. Ezután A választ egy kockát, ő azzal, és B a maradék kockával dob. Minden dobásnál az nyer, aki nagyobbat dob. Hányféle olyan felírás van, amelynél A nyer? Mennyi a valószínűsége, hogy A nyer?

Azt, hogy két kocka közül melyik a jobb, úgy lehet eldönteni, hogy az első kockára írt minden számhoz felírjuk, hogy a másodikon hány nála kisebb szám van, és az így kapott számokat összeadjuk. Mivel 6x6 számot hasonlítunk össze, ezért a két kocka egyforma, ha a kapott összeg 18; az első kocka a jobb, ha az összeg nagyobb 18-nál; és a második a jobb, ha az összeg kisebb 18 -nál.

Pl. ha a két kockán a számok: Példák: Pl. ha a két kockán a számok: I.: 1, 2, 3, 4, 11, 12; II.: 5, 6, 7, 8, 9, 10; akkor az első kockához tartozó szám 0+0+0+0+6+6=12<18, ezért a második kocka „jobb”. Ha a két kockán a számok: I.: 1, 2, 3, 10, 11, 12; II. 4, 5, 6, 7, 8, 9; 0+0+0+6+6+6=18, ezért az első és második kocka „egyforma jó”.

Három dobókocka Három kockára felírjuk az 1, 2, 3, ..., 18 számokat. Ezután A választ egy kockát, majd a maradék kettőből B választ egy kockát és mindketten saját kockájukkal dobnak. Minden dobásnál az nyer, aki nagyobbat dob. Fel lehet-e írni a számokat a kockákra úgy, hogy B-nek legyen nagyobb a nyerési esélye?

Véges sok kocka között nincs legjobb? Vajon van-e az I., II., III. kockáknak olyan kitöltése, hogy I. jobb mint II., II jobb mint III., és III. jobb mint I. ?

Mit várunk? Egy kitöltés: Összehasonlítás: I. II. III. I-II. II.-III. III.-I. 1 5 2 0 3 10 6 3 5 3 11 7 4 5 3 12 8 15 5 3 13 9 16 5 3 14 18 17 5 6 Össz.: 25 21 ?

Véges sok kocka között nincs legjobb? Kitöltés: Összehasonlítás: I. II. III. I-II. II.-III. III.-I. 1 5 2 0 3 1 10 6 3 5 3 1 11 7 4 5 3 1 12 8 15 5 3 6 13 9 16 5 3 6 14 18 17 5 6 6 Össz.: 25 21 21!!!

Irodalomjegyzék Varga Tamás: Amikor egy tranzitív reláció intranzitív A Matematika Tanítása 1967/2. Varga Tamás: Pontok a kör kerületén A Matematika Tanítása 1968/2. (3) Pintér Lajos –Berkes Jenő: A valós függvény fogalmának elmélyítése A Matematika Tanítása 1969/1. Bognár Stefánia: Az f(x)=f1(x)·sin 1/x típusú függvények tulajdonságai A Mat.Tanítása 1974/2 Dorofeev-Rozov: Periodikus és nemperiodikus függvé-nyek. Kvant 1977/1. Zemljakov: Páros és páratlan függvények. Kvant 1977/4.

Irodalomjegyzék (7) Katz Sándor: A bizonyítási készség fejlesztése függvénytani feladatok segítségével A Matematika Tanítása 1980/5. (8) Katz Sándor: Különleges függvények szerepe a középiskolai matematika tanításában A Matematika Tanítása 1981/1. (9) Pintér Lajos: Egy nagyon várható tanulói kérdésről POLYGON 1991/2. (10)Szalay István: Patalogikus függvények standard tulajdonságai POLYGON 1991/2. (11)Katz Sándor: Egyenletek ekvivalenciája Matematika Kincsestár 2002. szeptember