1 Példa
2 Észrevételek 1. G i következő tulajdonságai invariánsak a direkt szorzat képzésre: asszociativitás, kommutativitás, egységelem létezése, invertálhatóság 2. Tehát, ha G i csoport minden i – re, akkor G is csoport, továbbá ha J I, akkor a φ: projekció homomorfizmus, φ(G) = kerφ
3 Def. Tetszőleges A halmaz összes permutációjának halmaza a kompozícióval vett csoportját A szimmetrikus csoportjának nevezzük. Jelölése: Sym(A). Speciálisan, ha A = {1, 2, …, n}, akkor Sym(A) = S n, az n –ed fokú szimmetrikus csoport
4 Biz. Legyen a G és x G – re legyen Mit mondhatunk a a p a leképezésekről? „baleltolás” A p a függvények injektívek, mert p a (x 1 ) = p a (x 2 ) ax 1 = ax 2 x 1 = x 2 regularitás
τ: G Sym(G), ahol τ(a) = p a Most vizsgáljuk az következő leképezést: A p a függvények szürjektívek is, mert x G – nek van őse G – ben: a –1 x Miért elemei a p a leképezések Sym(G) – nek? Láttuk, hogy minden p a bijektív mindegyik G egy permutációját adja 5
τ injektív, mert ekkor x = y = e esetén ae = be a = b Összegezve: τ monomorfizmus csoport homomorf képe csoport izomorf G – vel τ(a) = τ(b) p a = p b ax = by τ művelettartó, mert τ szürjektív is τ(G) – re, mivel minden p a őse pontosan a τ(G) részcsoport Sym(G) – ben és 6