Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma Nándori Péter (V.) Témavezető: Dr. Szász Domokos (BME MI)

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma2 Definíció (Sinai, 1981) Legyen E véges (megszámlálható) halmaz. A ξ n, H-n értelmezett Markov láncot belső állapotú bolyongásnak nevezzük, ha: Ekkor nyilvánvaló módon (ε 0,ε 1,…) is Markov lánc. Továbbiakban RWwIS (a Random Walk with Internal States kifejezés rövidítéséből).

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma3 Alap feltevések 1) (ε 0,ε 1,…) irreducibilis, aperiodikus M.L. (μ stacionáris mértékkel) 2) Triviális aritmetika 3) Egy lépés várható értéke 0, ha ε ~ μ 4) A (σ l,m ) l,m=1…d mátrix pozitív definit, ahol:

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma4 A meglátogatott pontok száma Célunk: aszimptotikus becslést adni E d (n)-re, és V d (n)-re. Egyszerű szimmetrikus véletlen bolyongásra (továbbiakban SSRW) ismertek ilyen becslések (Dvoretzky-Erdős, 1951). Lorentz folyamatra E 2 (n)-re ismert becslés (Péne, 2007).

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma5 1. példa: 3 dimenziós RWwIS

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma6 2. példa: 2 dimenziós RWwIS

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma7 Tétel E d (n)-ről (d>2) SSRW (Dvoretzky-Erdős) Az alap feltevéseknek eleget tevő RWwIS-re tetszőleges eloszlású ε 0 esetén Megfelelő, a RWwIS-től függő γ d és β d konstansokkal:

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma8 Tétel V d (n)-ről (d>2) SSRW RWwIS Az eredeti bizonyításban szereplő egy szimmetria érvelés RWwIS esetén nem érvényes, innen adódik, hogy gyengébb becslést kapunk, mint SSRW esetén. A becslések nem optimálisak, de…

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma9 Következmények Nagy számok gyenge törvénye: Nagy számok erős törvénye: Bizonyítás: V d (n)=o(n 2 ) miatt a Csebisev egyenlőtlenségből következik. Bizonyítás: nehezebb, V d (n)=O(n 2-ε )-t használja.

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma10 A lokális tételről 1. A d=2 eset egyik nehézségét adja. Tétel (Krámli-Szász,1984): Speciálisan: d=2-re a hibatag nem összegezhető! ahol g σ a 0 várható értékű, σ kovariancia mátrixú normális eloszlás sűrűsége.

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma11 A lokális tételről 2. Lokális határeloszlás-tétel hibataggal: Feltéve, hogy a bolyongás csak véges sok helyre léphet, 1 dimenzióban igaz: A levont kifejezés ugyanaz, mint a Petrov tételben független valószínűségi változók esetén. Magasabb dimenzióban: 2 dimenzióban összegezhető a hibatag!

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma12 A lokális tételről 3. Bizonyítás gondolata: operátor értékű Fourier transzformált. α(0)=Q, az (ε 0,ε 1,ε 2,…) Markov lánc átmenet mátrixa. Q legnagyobb abszolútértékű sajátértéke 1, ezt fejtjük sorba a nulla körül, a megfelelő perturbációelméleti tételre hivatkozva. A klasszikus esetben (Krámli-Szász) a 2. tagig tekintjük a sorfejtést, jelen esetben a 3. tagig.

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma13 Szimulációk két dimenzióban 1. Dvoretzky-Erdős tétele SSRW-ra: Ez alapján sejthető, hogy RWwIS-re is ugyanez az aszimptotika, csak más konstanssal. Szimulációk:

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma14 Szimulációk két dimenzióban 2. RWwIS-re E 2 (n)-et c*n/log(n) – nek feltételezve c-re adott becslések Számítógépes szimulációk (10 k hosszú trajektóriából 10 7-k db-ot generálva) alapján: nĉ I (n)ĉ II (n)ĉ III (n) ,659872,716593, ,732422,795163, ,84552,793384, ,81263,008394,61972 Tanulság: Az aszimptotikus viselkedés megsejthető, a konstans nem (c I =  ).

Nándori Péter Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma15 Tétel E 2 (n)-ről és V 2 (n)-ről a feltételeknek eleget tevő RWwIS-re, tetszőleges eloszlású ε 0 esetén. SSRW – hoz képest E 2 (n) főtagja csak konstans szorzóban tér el. Következmény: nagy számok gyenge törvénye (ugyanúgy, mint magas dimenzióban). Nagy számok erős törvénye: SSRW esetén is nehéz, és megoldatlan RWwIS esetén!

Köszönöm a figyelmet!