Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei

Az előadások a következő témára: "Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei"— Előadás másolata:

1 Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei
és azok alkalmazása

2 Bevezetés egy egyszerű eutrofizációs problémán
keresztül

3 75mg/m3 CHL-a 10mg/m3 12mg/m3 18mg/m3

4 Water sediment (active layer)
growth sorption ORP DP PP AP Water H death mineralisation settling settling sediment (active layer) h PP ORP

5 Vollenweider(1980) Fajlagos terhelés: L/A Éves átlag TP
Töltési idő (V/Q) Hidraulikus terhelés [m/y] =Q/A

6 kapcsolat az anyagmérleggel:
=0

7 A Vollenweider formulából következő ülepedési sebesség:

8 Sekély tavakra korrigált Vollenweider formula:

9

10 Feladat -döntéshozás támogatása -döntés függvényformában -cél: optimális döntés -Wald A.: Statistical decision functions Sequential analysis

11 Statisztikai eljárás is -> döntéshez vezet
(legegyszerűbb eset: valószínűségi változó várható értékének vagy szórásának meghatározása) Pl. hipotézis ellenhipotézis Döntés alapja: -véletlen ingadozásnak alávetett adatok, vagy statisztikák -hibás döntés -> kár -> döntési kockázat cél: a legkisebb kockázattal járó döntés kiválasztása

12 Statisztikai döntési eljárás
Példa: Szennyező anyag koncentrációjának szezonális maximuma: X -ez a mérések szerint exponenciális valószínűségi változó: Sűrűség fv. -Az eloszlás várható értékére döntést kell hoznunk Statisztikai döntés döntéstér

13 legyen Statisztikai minta A statisztikai minta elemei a múltbeli szezonális maximumok amelyek lényegesen nagyobb információtartalommal rendelkeznek, mint egy megfigyelés Mivel És E(x) legjobb becslése:

14 Másik lehetséges döntésfüggvény:
Statisztikai döntési eljárás: Megfigyeljük az X valószínűségi változó értékeit, és ennek alapján választunk egy d döntést a lehetséges döntések D halmazából, amelyet a gyakorlati probléma határoz meg. A D halmazt döntéstérnek nevezzük. A döntés megválasztása bizonyos szabály alapján történik. Ezt a szabályt döntésfüggvénynek nevezzük.

15 Veszteségfüggvény és kockázatfüggvény
Ha a döntésünket a választásra alapozzuk Az elkövetett hibához veszteségeket rendelhetünk, a döntés által okozott veszteség is a függvénye Legyen a veszteség pl. vagy

16 Tekintsük a veszteség átlagos mértékét:
Amely a döntés kockázata Példa: Legyen v. szennyezőanyag éves középértéke normális eo. : A középértékek statisztikai mintája:

17 Legyen a döntésfüggvény:
Legyen a veszteségfüggvény: A kockázatfüggvény:

18 Ami a döntés kockázata Válasszunk most másik döntésfüggvényt a veszteségfüggvény:

19 A kockázatfüggvény: esetünkben Melyik a jobb döntés?

20 Cauchy egyenlőtlenség alapján
-> Megengedhetetlen döntésfüggvény

21 Értékétől függően változik a kockázat, akkor mindkét
döntésfüggvény megengedhető Ha 2 1 a b Melyik döntésfüggvényt válasszuk?

22 Tekintsük a döntés tárgyát valószínűségi változónak
sűrűségfüggvénye: a priori eloszlás (ismertnek tételezzük fel) Ekkor a kockázat várható értéke: Amelyet Bayes-féle kockázatnak nevezünk

23 -Azt a döntést, amelyre a Bayes-kockázat minimális, az
a priori eloszláshoz tartozó Bayes-döntésnek nevezzük - A Bayes-döntés a minimális átlagos kockázatú döntés Ha a valószínűségi változó véges számú értéket vehet fel, akkor az a priori eloszlás: Ekkor a Bayes kockázat:

24 Ha Különböző döntésfüggvények, akkor mindegyikre kiszámítjuk a Bayes-fále kockázatot, és azt a döntésfüggvényt választjuk, amelyre a Bayes-kockázat a legkisebb Példa: t<2hét > d1 döntés t>2hét > d2 döntés Kritikus szennyezettség tartóssága

25 Veszteség mátrix Döntési változó: szennyezési koncentráció tetőzési szintje x=1, ha c<ch x=2, ha c>ch példa

26 Ha az a priori eloszlás nem ismert, akkor
Minimax döntés

27 20.ea

28 Szekvenciális döntési módszer
-egymást követő megfigyelések lehetőségek: a) a Ho hipotézist elfogadjuk b) a Ho hipotézist elvetjük (H1 -et elfogadjuk) c) folytatjuk a megfigyeléseket a) és b) …végső döntések

29 Elsőfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho hipotézist elvetjük,
pedig igaz, Másodfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho-t elfogadjuk pedig nem igaz Szekvenciális hipotézisvizsgálat során először megadjuk az első és másodfajú megengedett hibát Elsőfajú hiba valószínűsége: Másodfajú hiba valószínűsége: indifferens tartomány Elfogadási tartomány B A Kritikus, elutasítási tartomány

30 Szekvenciális próba végrehajtása:
- az X valószínűségi változóra megfigyelés: X=x1 -kiszámítjuk az értékét, mellett -képezzük a Hányszor valószínűbb az x1 eredmény a mellett mint mellett Elfogadjuk a Ho hipotézist

31 Folytatjuk a megfigyelést …X=x2
Elvetjük a hipotézist ha folytatjuk: x2 és: Likelihood hányados

32 Elfogadjuk a Ho hipotézist
Elvetjük a hipotézist együttes sűrűségfv. Elfogadjuk a Ho hipotézist

33 Mintavételezés folytatásának feltétele:
Példa..p0.

34 Markov -láncok optimális irányítása

35

36 Páldául: 1. szennyezett 2. nem szennyezett

37 Határeloszlás Az olyan Markov folyamatot, amelynél a határeloszlás független az induló állapottól, ergodikus folyamatnak nevezzük

38 Ha a P sztochasztikus mátrixnak van olyan k hatványa, hogy minden eleme pozitív,
akkor az S határmátrix minden sora azonos lesz.

39 Markov-féle szekvenciális döntési folyamat
Vizsgálunk egy N állapotú Markov-folyamatot, amelyeknél az egyes átmenetekhez nyereséget rendelünk. Az átmenet hozadéka az i->j átmenet esetén (negatív profit=veszteség) A Markov-folyamat profitok sorozatát generálja, miközben állapotról állapotra változik, tehát a profit maga is valószínűségi változó. Def. a várható összes nyereség, n átmenet során, ha i az induló állapot

40 Közvetlen nyereség

41 Páldául: 1. szennyezett 2. nem szennyezett Példa p1

42 Döntési folyamat -beavatkozásokkal (döntésekkel megváltoztatjuk az átmenet valószínűségeket, így változnak a haszonmátrix elemei is ... ... k…alternatíva

43 Ha a Markov-láncnak N állapota van, és minden állapothoz m számú lehetséges
alternatíva választható, azaz a d1,d2,…,dm döntések valamelyikét választjuk, akkor lehetséges politika létezik A döntéssorozatot politikának nevezzük Legyen: a nyereség összegzett várható értéke Tegyük fel, hogy a n, n-1, n-2, …, 3, 2, 1 lépésekben megtaláltuk az optimális döntést. Ha az n-ik lépésnél i-ik állapotba került a rendszer, akkor a célunk maximálni a

44 Howard iterációs módszer
nyereség: közvetlen nyereség határvalószínűség Eszköz Markov-folyamatok összehasonlítására

45 a) Érték meghatározó lépés
b) Politika javító lépés határeset:

46 a) N+1 ismeretlen (g,v…), N egyenlet…alulhatározott rendszer, egyik v értéket 0-nak választjuk b) Politika javító lépés a legjobb alternatíva

47 P2 példa