3. Vetületi ábrázolások számítási eljárásai

A félév tartalma 1. Bevezetés 2. Az analitikus geometria elemei - koordináta-rendszerek és transzformációk - E 3 és projektív lezárása, homogén koordináták - egyenesek és síkok, - affin- és projektív transzformációk 3. Vetületi ábrázolások; axonometria és perspektíva 4. A grafikus szerelőszalag: a képek előállításának alapvető műveletei

3. Vetületi ábrázolások számítási eljárásai 3.0. Bevezetés A középpontos és a párhuzamos vetítés 3.1. Párhuzamos vetítés 3.2. Középpontos vetítés A műszaki dokumentáció vetületi ábrázolásai 3.3. Axonometria 3.4. Perspektív ábrázolások

3.0. Bevezetés

Pontokat vetítünk . . . tárgyak vetítése síkra: 3D  2D (vetületi sík). Pontokat vetítünk . . . Egy-egy ponton át: vetítősugár döfése a vetületi síkkal: kép-pont vonalak, felületek, tárgyak vetítése: jellemző pontjaik vetítése.

A tér látása . . . Az ember szeme is „síkra” vetít, A térbeliség észlelése két síkvetületből az ember tanult tulajdonsága (az újszülött csak vetületet lát.)

Párhuzamos vetítés: a vetítősugarak Párhuzamos vetítés: a vetítősugarak egy adott iránnyal párhuzamosak; affin transzformációval Középpontos vetítés: a vetítősugarak egy adott pontból indulnak ki; projektív transzformációval

Kisebb tárgyaknál: a tárgyat kézben tartva, a perspektíva nem érvényesül, párhuzamos vetítés, a néző áll, a tárgy forog Nagyobb tárgyaknál: messziről nézzük a tárgyat, perspektíva, vagy középpontos vetítés, a tárgy áll, a néző változik

A teljes igazság . . . GM : tárgyak a térben: { P = (p.x, p.y, p.z [, p.w]) } Vetületi transzformáció: { P’ = (p’x, p’y, p’.z [, p’.w]) } Vetület a vetületi síkban: { P’’ = (p’x, p’y) ; p’z = 0 } (1. lépés) P’ = M  P; 3D  3D, VKR-3D  PKR-3D M olyan legyen, hogy: (3.lépés) z: = 0; a „vetületi képet” adja  PKR-XY, (2. lépés) !! Még a PKR-3Dben: Láthatóság z’ szerint, (4. lépés) 2D Leképezés: PKR-XY  KKR-UV,

4. lépés: Leképezés: VKR-XY  KKR-UV VKR - xy: 2D tárgytér, méretek: mm, inch, km, stb. KKR - uv: 2D képtér, képpont-méretek TKR  KKR, képkeret  képmező: 2D  2D u = a  x + b; a = du / dx v = c  y + d; c = dv / dy Kba  Mba b = . . . d = . . .

A „nézet” megválasztása „Nézet” (a vetítés paraméterei): vetítési középpont, vagy a vetítés iránya vetületi sík, képkeret Rossz paraméterek: rossz kép (kilóg a keretből) !!! A paraméterek megválasztása: szemléletesen, a tárgyakhoz viszonyítva! Műszaki hagyomány: kézi rajz, rajzolási szabályok: könnyen rajzolható és jól „olvasható”

A vetítések koordináta-rendszerei VKR TKR SZKR KKR, KKR-3D Tárgytér és képtér

Vetületi ábrázolások számítási eljárásai 3.0. Bevezetés A középpontos és a párhuzamos vetítés 3.1. Párhuzamos vetítés 3.2. Középpontos vetítés A műszaki dokumentáció vetületi ábrázolásai 3.3. Axonometria 3.4. Perspektív ábrázolások

3.1. Párhuzamos vetítés

Párhuzamos vetítés Merőleges vetítés koordinátasíkra Ferde vetítés koordinátasíkra Leképezés a képernyőre Leképezés a KKR-be (a képernyőre) Transzformációk a vetítés előtt Vetítés általános helyzetben Áttérés TKR-ről KKR-re

Merőleges vetítés koordinátasíkra Párhuzamos és merőleges vetítés M = E A tárgy az XY síkon áll, erre merőlegesen vetítünk: a z -t elhagyjuk Más helyzetű tárgy esetén: eltolás-forgatással erre visszavezetjük

Ferde vetítés koordinátasíkra A vetítés iránya: v = (vx, vy, vz); vz  0 A vetítő egyenesek: X (x, y, z) = P + t · v x = px + t · vx y = py + t · vy z = pz + t · vz A vetületi síkon z’ = 0 : t = -pz / vz (vz  0) x’ = px+ t · vx = px - pz · ( vx / vz ) y’ = py+ t · vy = py - pz · ( vy / vz )

Ferde vetítés mátrixal: Nyírással merőleges vetítéssé: P’ = N xy · P ; (3D3D) = ( 1 0 -vx/vz 0)·(px) | 0 1 –vy/vz 0| |py| | 0 0 1 0| |pz| ( 0 0 0 1| ( 1 ) = [ px - (pz / vz) · vx , py - ( pz / vz) · vy , pz , 1]  [ px - (pz / vz) · vx , py - ( pz / vz) · vy ] ; vz :=0 Nyírás: a 3D alak torzul, de ettől jó a 2D vetület

Transzformációk a vetítés előtt, 1 „elhelyező transzformáció” „modell-transzformáció”, „SKR”-ben adott minta, „elhelyezése” a TKR-ben; méretezés, forgatás, elhelyezés; hasonlósági transzformációk

Transzformációk a vetítés előtt, 2 Feladat: a VKR-ben adott test vetítése egyik fő sikjára A tárgy jellemző KR-e: TKR; megadása VKR-ben: R, u, v, w áttérés: VKR  TKR –be: P’ = ( T  B )  P Ezután vetítés a TKR-ben

Párhuzamos vetítés általános helyzetben (olv) Rossz paraméterek - rossz kép (kilóg a keretből), jó paraméterek: szemléletesen, a tárgyhoz viszonyítva A TKR (UVW) -ben: vetületi sík: n és d  O iránypont: C = (cu, cv, cw), a vetítés iránya: CO KKR: z = n a kép fölfele iránya: y (?) f „fölfele” az n és y síkjában x = f  z (x-y-z ciklikus sorrend) y = z  x

4. lépés: Leképezés: VKR-XY  KKR-UV VKR - xy: tárgytér, méretek: mm, inch, km, stb. KKR - uv: képtér, képpont-méretek TKR  KKR, képkeret  képmező: 2D  2D u = a  x + b v = c  y + d a = du / dx c = dv / dy Kba  Mba b = . . . d = . . .

Párhuzamos vetítés - összefoglalás Merőleges vetítés koordinátasíkra Ferde vetítés koordinátasíkra Párhuzamos vetítés a tárgyhoz viszonyított paraméterekkel Leképezés a képernyőre