Nemdeterminisztikus tulajdonság tesztelés László Lovász Katalin Vesztergombi

G(k,G): G-nek k véletlenül választott pontja által feszített részgráfja Definiciók September 20122

P tesztelhető: létezik olyan P’ teszt-tulajdonság, hogy (a)minden G ∈ P gráfra és minden k ≥ 1-re G(k,G) ∈ P′ valószínűsége ≥2/3, és (b) minden ε > 0 –hoz van olyan k 0 ≥ 1 hogy minden olyan G gráfra, melyre d 1 (G,P) > ε, és minden k ≥ k 0 -ra G(k,G) ∈ P′ valószínűsége legfeljebb 1/3. P: gráf tulajdonság tesztelhető gráf tulajdonságok September 20123

Példa: Nincs él. Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák Példa: Minden fok ≤10. Példa: Tartalmaz ≥ n/2 csúcsú klikket. Példa: Páros. Példa: Perfekt. September 20124

Removal Lemma:   ’ ha t( ,G)<  ’, akkor el lehet hagyni  n 2 élt úgy, hogy háromszög-mentes gráfot kapjunk. Ruzsa - Szemerédi G’: véletlen feszített részgráf G’ nem háromszög-mentes  G nem háromszög-mentes G’ háromszög-mentes  nagy valószínűséggel G-ben kevés háromszög van Példa: háromszög-mentes Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák September 20125

Példa: Két izomorf gráf diszjunkt úniója. Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák Nem tesztelhető! September 20126

minden öröklödő gráf-tulajdonság tesztelhető. Alon-Shapira feszített részgráfra öröklődik Tesztelhető gráf-tulajdonságok September 20127

Nemdeterminisztikusan tesztelhető tulajdonságok Isteni szikra: kiszinezzük a csúcsokat, irányítjuk és szinezzük az éleket Q: irányított, szinezett gráfok egy tulajdonsága shadow(Q)={shadow(G): G  Q}; G: irányított, él és csúcs-szinezett gráf shadow(G): elfelejtjük az irányítást, elhagyunk bizonyos színű éleket, elfelejtjük a szinezést P nemdeterminisztikusan tesztelhető: P= shadow(Q), ahol Q tesztelhető tulajdonsága szinezett, irányított gráfoknak. September 20128

Példák: Maximális vágásban ≥n 2 /100 él van. Tartalmaz ≥ n/2 csúcsú klikket. Tartalmaz olyan feszítő részgráfot, melynek egy tesztelhető P tulajdonsága van. Elhagyható ≤n 2 /100 él úgy, hogy a maradék gráf perfekt. Nemdeterminisztikusan tesztelhető tulajdonságok September 20129

Minden nemdeterminisztikusan tesztelhető gráf- tulajdonság tesztelhető. Főtt étel „P=NP” sűrű gráfok tulajdonság-tesztelésére. Tiszta exisztencia-bizonyítás egy algoritmusra. September L-V

Megszorítások és kiterjesztések Csúcs-szinezés kódolható él-szinezéssel. Nem foglalkozunk az irányítással. Ekvivalens: Tanusítványt unáris és bináris relációk adják. Ternáris stb? A tétel nem igaz, ha függvényeket is megengedünk a relációk mellett. (Példa: Két izomorf gráf diszjunkt úniója.) September

G AGAG WGWG September Gráfoktól függvényekig

September W 0 = { W: [0,1] 2  [0,1], szimmetrikus, mérhető } Magfüggvények és grafonok G gráf  W G grafon W = { W: [0,1] 2  R, szimmetrikus, korlátos, mérhető } magfüggvény grafon

September Van véges definíció. Vágás-távolság vágás-norma L  ([0,1] 2 )-n vágás-távolság

Egy P gráf tulajdonság a.cs.a. tesztelhető, ha minden (G n ) gráfsorozatra, ahol |V(G n )|  és   (G n,P)  0, fennáll, hogy d 1 (G n,P)  0. Vágás-távolság és tulajdonság-tesztelés September L-Szegedy

September k-elemű minták eloszlása minden k-ra konvergens annak a valószínűsége, hogy egy véletlen V(F)  V(G) leképezés éltartó (G 1,G 2,…) konvergens:  F t(F,G n ) konvergens Gráfsorozat konvergenciája (G 1,G 2,…) konvergens  Cauchy a vágás-távolságra nézve Borgs-Chayes-L-Sós-V

September G n  W :  F t(F,G n )  t(F,W) Gráfsorozat limesz-grafonja Ekvivalens:

September Minden konvergens (G n ) gráfsorozathoz van olyan W  W 0, melyre G n  W. Megfordítva,  W  (G n ) melyre G n  W. W lényegében egyértelmű (mértéktartó transzformációtól eltekintve). Limesz-grafon: exisztencia és unicitás L-Szegedy Borgs-Chayes-L

Legyen G n gráfsorozat, és U olyan grafon, melyre G n  U. Ekkor a G n gráfok úgy címkézhetők, hogy Konvergencia normában (W n ): egyenletesen korlátos magfüggvények sorozata, melyre  W n    0. Ekkor  W n Z    0 minden integrálható Z: [0,1] 2   R függvényre. September Borgs-Chayes-L-Sós-V L-Szegedy

k-grafonok k-grafon: W=(W 1,...,W k ), ahol W 1,...,W k  W 0 és W W k =1 törtszinezés k színnel September G(r,W): véletlen x 1,...,x r  [0,1], (i,j)-t összekötjük a c színnel W c (x i,x j ) valószínűséggel.

L n : k-él-szinezett gráfok. L n konvergens: G(r,L n ) eloszlása konvergens  r-re. k-szinezett gráfok konvergenciája September L n k-szinezett gráfok konvergens sorozata   k-grafon W :  r G(r,L n )  G(r,W) (eloszlásban). Ekvivalens: L-Szegedy

H 1, H 2,...  Q Q shadow(H n )=G n ... J 2, J 1 shadow(J n )=F n Q -hoz közel G 1, G 2,...  ... F 2, F 1  P P P -től távol  Fő tétel: bizonyítás September

Legyen W=(W 1,...,W k ) k-grafon, és legyen. Legyen F n  U. Ekkor vannak olyan k-szinezett J n gráfok, melyekre shadow(J n ) = F n és J n  W. Fő lemma September

September  F Bizonyítás (k=3, m=2) W 1 W 2 + = H 1 H 2 U

September 2012 (H 1, H 2 ) tört él-szinezés  (J 1, J 2 ) véletlen él-szinezés Bizonyítás (folyt) kicsik (Csernov) kicsik Két bizonyítandó: 25

September Bizonyítás (folyt)

September Bizonyítás (folyt)

September Mintavétel: Egyenletes eloszlású véletlen csúcsot választunk korlátos sokszor, és kikutatjuk a szomszédságát korlátos mélységben. Korlátos fokú gráfok (≤D)

September Maximális vágás nem becsülhető ebben a modellben. (véletlen D-reguláris gráf vs. véletlen páros D-reguláris gráf) P  NP ebben a modellben. Korlátos fokú gráfok (≤D) (véletlen D-reguláris gráf vs. két véletlen D-reguláris gráf úniója)