Levezetési szabályok kvantorokra  -bevezetés (egzisztenciális általánosítás, EG)  -kiküszöbölés (univerzális megjelenítés, UI)  -kiküszöbölés (EI):

Slides:

Advertisements

Hasonló előadás

Ptolemaiosz tétel bizonyítása 1.

Advertisements

Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor

Kondicionális Eddig: Boole-konnektívumok ( , ,  ) Ezek igazságkonnektívumok (truth-functional connectives) A megfelelő köznyelvi konnektívumok: nem.

A matematikai logika alapfogalmai

2006. február 17. Valószínűségszámítás és statisztika II. Telefonos feladat Egy kalapban van két korong, az egyiknek mindkét oldala piros, a másiknak.

Pénz a cipődben: Gyémánt Kard Technika

Matematikai logika.

Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.

Az alany az a mondatrész, amelyről megállapítunk valamit.

1 Előhang Világunk dolgainak leírásához gyakran használunk kijelentő mondatokat. Pl. Minden anya szereti gyerekeit. Júlia anya és Júlia gyereke Máté. Következmény:

Gyűrűk Definíció. Az (R, +, ·) algebrai struktúra gyűrű, ha + és · R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ·) félcsoport, és III.

4. VÉGES HALMAZOK 4.1 Alaptulajdonságok

Barwise-Etchemendy: Language, Proof and Logic

Hatásköri kétértelműségek Kvantifikáló kifejezések: Néhány lány =>  x(x lány  …) Minden fiú =>  x(x fiú  …) Két prímszám=>  x  y( x prímszám  y.

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

MI 2003/5 - 1 Tudásábrázolás (tudásreprezentáció) (know- ledge representation). Mondat. Reprezentá- ciós nyelv. Tudás fogalma (filozófia, pszichológia,

Logika 5. Logikai állítások Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék március 10.

A digitális számítás elmélete

Év eleji információk Előadó: Hosszú Ferenc II. em Konzultáció: Szerda 9:50 – 10:35 II. em

Differenciál számítás

Bevezetés a matematikába I

Panoráma Ahoz,hogy „szélesvásznú” vetítést kapjak a Fájlok- Oldalbeállításnál,a szélességet 12 hüvelykre,a magasságot 6.5-re állítottam be. Lehet nem is.

Halmazok. Legyen A={a; a=4k 2 -2k+1; kЄ N} – Legyen B={b; b=(8m 3 +1)/(4m 2 -2m+1), m ЄN} – Adja meg az A halmaz elemeit k=1,3,5,7-re, a B halmaz elemeit.

13. A zillmerezés, mint bruttó

Érvelés, bizonyítás, következmény, helyesség

Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá.

Arisztotelész szillogisztikája

Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) Alapfelállás: -Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). - A játék tárgya egy zárt mondat: P. - Választanom.

I.7: „Világos az is, hogy mindegyik alakzatban, amikor nincs szillogizmus, és mindkettő állító, avagy tagadó, akkor egyáltalán semmi nem lesz szükségszerű.

Első Analitika I.1. Az állításelmélet újrafogalmazása „Protaszisz az a mondat, ami valamit valamiről állít vagy tagad.” „Lehet egyetemes, részleges (en.

Nem igaz, hogy a kocka vagy tetraéder. Nem igaz, hogy a kicsi és piros. a nem kocka és nem tetraéder. a nem kicsi vagy nem piros. Általában: "  (A  B)

Függvényjelek (function symbols) (névfunktorok) FOL-ban Névfunktor: olyan kifejezés, amelynek argumentumhelyeire neveket vagy in- változókat lehet írni.

A kvantifikáció igazságfeltételei

„Házasodj meg, meg fogod bánni; ne házasodj meg, azt is meg fogod bánni; házasodj vagy ne házasodj, mindkettőt meg fogod bánni; vagy megházasodsz, vagy.

A kondicionális törvényei

A logika centrális fogalmai a kijelentéslogikában Propositional logic Nulladrendű logika Általában Logikai igazság Logikai ekvivalencia Logikai következmény.

(nyelv-családhoz képest!!!

Formális bizonyítások Bizonyítások a Fitch bizonyítási rendszerben: P QRQR S1Igazolás_1 S2Igazolás_2... SnIgazolás_n S Igazolás_n+1 Az igazolások mindig.

Vegyes kvantifikáció A kvantorcsere szerepe a Henkin-Hintikka játékban: l. Mixed Sentences, Kőnig’s World. Gyakorlás: 11.5 HF: 11.4, 11.9.

Levezetések gyakorlása: Balra Excercise Quantifier strategy 1. HF.: 13.21, 22. (Figyelni a feladatkitűzésre az előző oldalon!)

Predikátumlogika.

Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma Nándori Péter (V.) Témavezető: Dr. Szász Domokos (BME MI)

Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá

Koncepció: Specifikáció: e par exp i = eb imp bod ib Specifikáció elemzése: tulajdonságok felírása a koncepció alapján + tulajdonságok bizonyítása.

A kvantifikáció igazságfeltételei “  xA(x)” akkor és csak akkor igaz, ha van olyan objektum, amely kielégíti az A(x) nyitott mondatot. “  xA(x)” akkor.

Fordítás természetes nyelvről FOL-ra Kvantifikáló kifejezések: Néhány/Egy F   x( F(x)  …) Minden G   x( G(x)  …) Két H   x  y( H(x)  H(y)  …)

Kijelentések könyve: mindegyik oldalon egy kijelentés. Egyes igaz kijelentések axiómák. Az axiómákból bizonyítható kijelentések mind igazak, és a cáfolható.

Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá.

Az informatika logikai alapjai

MI 2003/6 - 1 Elsőrendű predikátumkalkulus (elsőrendű logika) - alapvető különbség a kijelentéslogikához képest: alaphalmaz. Objektumok, relációk, tulajdonságok,

Henkin-Hintikka-játék szabályai, kvantoros formulákra, még egyszer: Aki ‘  xA(x)’ igazságára fogad, annak kell mutatnia egy objektumot, amire az ‘A(x)’

GRÁFOK Definíció: Gráfnak nevezzük véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok pont és azokat összekötő szintén véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok.

Valószínűségszámítás II.

A természetes számok osztása, az osztás tulajdonságai

T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése)

Iteráció, rekurzió, indukció. Iteráció iterációs módszer –egy adott műveletsort egymás után, többször végrehajtani megvalósítás –ciklusokkal pl. –hatványozás.

Algebrai logika Leibniz folytatói a 18. században: Lambert, Segner és mások. 19. sz., Nagy-Britannia: Aritmetikai és szimbolikus algebra. Szimbolikus algebra:

Kvantifikáció:  xA: az x változó minden értékére igaz, hogy…  a: értelmetlen. (Megállapodás volt: ̒a’, ̒b’, … individuumnevek.) Annak sincs értelme,

Analitikus fa készítése Ruzsa programmal

Analitikus fák kondicionálissal

Fordítás (formalizálás, interpretáció)

II. konzultáció Analízis Sorozatok Egyváltozós valós függvények I.

Logika előadás 2017 ősz Máté András

Variációk a hazugra Szókratész: Platón hazudik.

Kijelentéslogikai igazság (tautológia):

Elméleti probléma: vajon minden következtetés helyességét el tudjuk dönteni analitikus fával (véges sok lépésben)? Ha megengedünk végtelen sok premisszás.

11.4. x y ((Small(x)  Large(y))  FrontOf(x,y))

Bevezetés a matematikába I

Emlékeztető Az előző órán az adatok eloszlását Gauss-eloszlással közelítettük Célfüggvénynek a Maximum Likelihood kritériumot használtuk A paramétereket.

Előadás másolata:

Levezetési szabályok kvantorokra  -bevezetés (egzisztenciális általánosítás, EG)  -kiküszöbölés (univerzális megjelenítés, UI)  -kiküszöbölés (EI): ha tudjuk, hogy vannak A-k, nevezzük el egyiket c-nek.  -bevezetés (UG): ha be akarjuk bizonyítani, hogy minden objektum A, vegyünk egy tetszőleges c objektumot, és bizonyítsuk be róla, hogy A. általában nem jár új névkonstanssal és nem jelent problémát

Hogyan verheti át egymást EI és UG? (1) Minden fiú táncolt egy lánnyal. (2) Van olyan lány, akivel minden fiú táncolt. (2)-ből nyilván következik (1), és le is tudjuk vezetni. Legyen c egy olyan lány, akivel minden fiú táncolt. (2) szerint kell, hogy legyen ilyen. (3) Minden fiú táncolt c-vel.EI (2)-ből. Akkor legyen d egy tetszőleges fiú. (4) d táncolt c-vel. UI (3)-ból. (5) Van olyan lány, akivel d táncolt.EG (4)-ből. Mivel d tetszőleges fiú volt, (5)-ből UG-vel következik (1).

De ha nem vigyázunk, (1)-ből is le tudjuk vezetni (2)-t, pedig nyilván nem következik. Legyen d egy tetszőleges fiú. (6) Van olyan lány, akivel d táncolt.UI (1)-ből. Nevezzünk el egy ilyen lányt c-nek. (7) d táncolt c-vel.EI (6)-ból. Mivel d tetszőleges fiú volt: (8) Minden fiú táncolt c-vel.UG (7)-ből. (8)-ból EG-val következik (2). Itt a hiba! Ez nem lehet!

A hiba nyilván az, hogy c-t d-től függően kellett választanunk. Nem igaz, hogy van d-től függetlenül olyan c, akire (7) igaz. Ezért (7)-ből csak valami ilyesmi következik: Minden d fiúhoz van olyan c(d) lány, akivel táncolt. Ez csak alkalmi jelölés! Amiből nem következik (2). Hogyan formalizáljuk UG-t?  xP(x)-et akarjuk bizonyítani. Legyen c egy tetszőleges objektum, és kezdjünk bele egy részbizonyításba. Ha minden jól megy, a részbizonyításP(c)-vel végződik. Ebből a részbizonyításból következtethetünk  xP(x)-re UG-vel, feltéve, hogy P-ben nem fordul elő olyan konstans, amelyet a részbizonyításon belül EI-vel vezettünk be.

Fitch-ben az EI-vel és az UG-vel kapcsolatos konstansokat bedobozoljuk részbizonyításokba. Dobozba zárt konstansok: kb. ennyit jelent: „c egy tetszőleges objektum az univerzumból”. A diákon a következőkben  c  -t írok a doboz helyett.  c  P(c): c egy tetszőleges objektum, amely P (röviden: egy tetszőleges P). Bedobozolt konstansok nem fordulhatnak elő azon a részbizonyításon kívül, amelyben bevezettük őket.  -bevezetés -1. (UG) Kezdjünk el egy részbizonyítást egy  c  bedobozolt konstanssal (új premisszák nélkül). Ha ez P(c)-vel végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást “  xP(x)” -szel. c

 -bevezetés-2. (General conditional proof) Részbizonyítást kezdünk a  c  bedobozolt konstanssal és a P(c) premisszával. Ha ez Q(c)-re végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást“  x(P(x)  Q(x))”-szel. A kettőből bármelyik elég önmagában.  -kiküszöbölés (EI) Ha van egy“  xP(x)”premisszánk, kezdjünk egy részbizonyítást a  c  bedobozlt konstanssal és a P(c) premisszával. Ha ez Q-ra végződik, folytathatjuk a fő bizonyítást Q-val EG és UI formalizálása: nyilvánvaló. Gyakorlások: Universal 1, Universal 2, Existential 1. Hf: (.prf is!), – ezzel nincs mit csinálni!