Binomiális eloszlás

Bevezető példa Egy speciális kockával, amelynek öt 1-es és egy 6-os oldala van, egymás után négyszer dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy egyáltalán nem dobunk 6-ost? És annak, hogy egyszer, kétszer, háromszor, vagy mind a négyszer hatost dobunk?

Írjuk fel a lehetséges dobássorozatokat!

Tanulságok: a dobássorozatok nem egyformán valószínűek = nem klasszikus valószínűségi mező a dobássorozat valószínűsége attól függ, hány hatos dobás van benne, de nem függ a hatosok és egyesek sorrendjétől a különböző számú hatosdobásokhoz, különböző számú sorozat tartozik P(k db hatost dobok)=ilyen sorozatok száma * egy ilyen sorozat valószínűsége

Általánosítsunk! Van egy kísérlet, amelynek egyik lehetséges kimenetele az A esemény. Legyen P(A)=p Végezzük el egymás után a kísérletet n-szer, és számoljuk meg hányszor következik be a kedvező esemény, azaz A! Mi a valószínűsége, hogy éppen k-szor?

Az olyan kísérletsorozat valószínűsége, amelyben A esemény k-szor következik be: Hány ilyen sorozat van? Más szavakkal: egy n elemű sorozatban hányféle képpen tudunk k helyett az A eseménynek kiválasztani?

Egy kis kombinatorika I. n darab számozott golyónk van. Hány féleképpen tudjuk őket sorbarakni?

Egy kis kombinatorika II. Az első helyre n féleképpen választhatunk, a másodikra n-1 féleképpen, stb, az utolsóra már csak 1 féleképpen. Vagyis n*(n-1)*...*2*1=n! féle sorrend létezik. n elem permutációinak száma: n!

Egy kis kombinatorika III. a golyók nem csak számozottak, de színesek is. Van k darab kék, és n-k darab piros. Hány féleképpen tudjuk őket sorbarakni ha csak a szín számít? Az ilyen sorozatokat az n elem k-adosztályú kombinációinak nevezzük.

Egy kis kombinatorika IV. A kombinaciók száma kisebb, mint a permutációké Minden kombináción belül létezik k! olyan sorozat, ahol a kék golyókon belül a számok sorrendje más Minden ilyen sorozathoz tartozik (n-k)! olyan sorozat, ahol a piros golyók sorrendje más

Egy kis kombinatorika V. Tehát minden kombinációhoz tartozik k!(n-k)! különböző permutáció Ezért a kombinációk száma:

Vissza a binomiális eloszláshoz Egy n elemű sorozatban hányféle képpen tudunk k helyett az A eseménynek kiválasztani? féleképpen

Definíció Y=B(n,p), vagyis (n,p) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó, ha:

Mikor kapunk binomiális eloszlást? Ha egy kísérletet, amelyben a kedvező kimenetel valószínűsége állandó, egymástól függetlenül többször elvégzünk, a kedvező kimenetelek száma binomiális eloszlású Urnamodell: egy urnában piros és kék golyók vannak, többször egymás után húzunk, de húzás után visszatesszük a kihúzott golyót és megkeverjük az urnát. A kihúzott kék golyók száma binomiális eloszlású. Mondjatok biológiai példákat a binomiális eloszlásra!

Binomiális eloszlás tulajdonságai Várhatóérték E=np Variancia D2=np(1-p)

Feladatok Órai feladat: Készítsetek binomiális eloszlású random adatsorokat különböző paraméterekkel, majd ábrázoljátok ugyanazt az adatsort histogramon és box-plot-on! Házi feladat: Számoljátok ki hogy egy 10 gyermekes családban mekkora valószínűséggel születik 0, 1, 2, ... 10 lány, ha a lányok születésének valószínűsége 0.5!