Folytonos eloszlások

Folytonos egyenletes eloszlás Y valószínűségi változó 0 és 1 között minden értéket azonos valószínűséggel vesz fel Klasszikus valószínűségi mező  bármely érték valószínűség 1/végtelen=nulla Paradoxon: a lehetetlen esemény valószínűsége nulla, de a nulla valószínűségű esemény nem feltétlenül lehetetlen

Eloszlás függvény Mi a valószínűsége annak, hogy Y0.5? P(Y0.5)=0.5, mert a kedvező elemi események száma fele az összes elemi eseménynek. Rajzold fel az Y eloszlásfüggvényét!

Sűrűségfüggvény Diszkrét valószínűségi változónál az eloszlásfüggvény ugrásszerűen emelkedett a-nál P(Y=a)-val. Folytonos eloszlás esetén kiszámíthatjuk, hogy a végtelen kicsi környezetében mennyivel emelkedik az eloszlásfüggvény értéke. Ezt az eloszlásfüggvény deriváltja adja meg, amelyet sűrűségfüggvénynek nevezünk, és f(a)-val jelölünk. Rajzoljátok fel az Y sűrűségfüggvényét!

Sűrűségfüggvény 2 A sűrűségfüggvény értéke nem valószínűség, ezért lehet nagyobb mint 1. Rajzoljátok fel a 0 - 0.5 intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlás- és sűrűségfüggvényét! A sűrűségfüggvény alatti terület (a függvény integrálja) valószínűség A képletekben folytonos valószínűségi változó esetén a valószínűségek helyére sűrűségfüggvényt, a szumma helyére integrált írunk.

Várhatóérték és variancia

Exponenciális eloszlás

Példa Kis mennyiségű radioaktív anyaggal kísérletezünk Feljegyezzük az egyes atomok bomlásának időpontját A legutóbbi bomlás óta eltelt idő lesz a vizsgált valószínűségi változó

Rokon a Poisson eloszlással, mert: ha kiválasztunk egy atomot, annak a elbomlási valószínűsége időben állandó az egyik atom bomlása független a másikétól DE másképp definiáltuk a valószínűségi változót

Exponenciális eloszlás tulajdonságai

Feladat generáljatok exponenciális eloszlású véletlenszámokat: rexp() készítsetek belőlük hisztogramot: hist() rajzoljátok rá a hisztogramra a sűrűségfüggvényt: lines()

Normális eloszlás

Normális eloszlás tulajdonságai

Feladat Rajzoljátok fel az m=0 és =2 paraméterű normális eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvényét -10 és +10 között! Segítség: help(dnorm)

Feladat generáljatok normális eloszlású véletlenszámokat: rnorm() készítsetek belőlük hisztogramot: hist() rajzoljátok rá a hisztogramra a sűrűségfüggvényt: lines()

Miért szeretjük a normális eloszlást használni? lineáris transzformációk (szorzás konstanssal, konstans hozzáadása) csak a paramétereket változtatják meg, az eloszlás típusát nem független normális eloszlású valószínűségi változók összege is normális eloszlású független normális normális eloszlású valószínűségi változók átlaga is normális eloszlású

Standard normális eloszlás Az N(0,1) eloszlást statndard normális eloszlásnak nevezzük, eloszlásfüggvényét -vel, sűrűségfüggvényét -vel jelöljük. Tetszőleges paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó átalakítható standard normális eloszlásúvá, ha kivonjuk belőle a várhatóértékét és elosztjuk a szórásával.

Központi határeloszlás tétel Ha Y1, Y2, ..., Yn azonos eloszlású valószínűségi változók, összegük határesetben (n) normális eloszlás Speciális esetei: binomiális eloszlás közelítése normális eloszlással Poisson eloszlás közelítése normális eloszlással

Lognormális eloszlás Lognormális eloszlású az a valószínűségi változó, amelynek a logaritmusa normális eloszlású paraméterei: m és 

Központi határeloszlás tétel Ha Y1, Y2, ..., Yn azonos eloszlású valószínűségi változók, szorzatuk határesetben (n) normális eloszlás

Példák a lognormális eloszlásra aprításnál a szemcseméret eloszlás random ingadozó növekedési rátánál a testméret/populációméret (exponenciális növekedés esetén!)