A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor
Advertisements

Egyismeretlenes lineáris egyenletek
A hőterjedés differenciál egyenlete
A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok 1.
Kalman-féle rendszer definíció
FÉLVEZETŐ-FIZIKAI ÖSSZEFOGLALÓ
1. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI
Térbeli infinitezimális izometriák
Operációkutatás szeptember 18 –október 2.
Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar
Az Euler-egyenlet és a Bernoulli-egyenlet
Veszteséges áramlás (Navier-Stokes egyenlet)
KISÉRLETI FIZIKA III HŐTAN
Valószínűségszámítás
Lineáris algebra Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek
HETEROGÉN RENDSZEREK SZÉTVÁLASZTÁSA
A fluidumok mechanikai energiái Készítette: Varga István VEGYÉSZETI-ÉLELMISZERIPARI KÖZÉPISKOLA CSÓKA
Folyadékok mozgásjelenségei általában
Matematika III. előadások MINB083, MILB083
Matematika III. előadások MINB083, MILB083
Közműellátás gyakorlathoz elméleti összefoglaló
Regresszióanalízis 10. gyakorlat.
Ezt a frekvenciát elektron plazmafrekvenciának nevezzük.
A kvantummechanika alapegyenlete, a Schrödinger-féle egyenlet és a hullámfüggvény Born-féle értelmezése Előzmények Az általános hullámegyenlet Megoldás.
Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor
A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok
2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI
1. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI
A moláris kémiai koncentráció
2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI 1. Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (1926) 2.
A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok
Exponenciális egyenletek
Elektron transzport - vezetés
STRONCIUM-ION MEGKÖTŐDÉSÉNEK KINETIKÁJA TERMÉSZETES AGYAGMINTÁKON
A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok
A H-atom kvantummechanikai tárgyalása Tanulságok
Hőtan.
SUGÁRZÁS TERJEDÉSE.
1. feladat Makó és Veszprém között a távolság 270 km. Reggel 8-kor elindult egy vonat Makóról 60 km/h sebességgel. 9-kor Veszprémből indult egy gyorsvonat.
Transzportfolyamatok II. 3. előadás
Felszín alatti vizek védelme Vízmozgás analitikus megoldásai.
Kémiai reakciók.
4. Reakciókinetika aktiválási energia felszabaduló energia kiindulási
Makai M.: Transzport71 A hidrodinamikai egyenletek korrekciója Statisztikus dinamika A tér diszkretizált  a fázistér: a fázistér egy pontja: statisztikus.
Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció).
Makai M: Transzport31 Most meghatározzuk az egyenlet aszimptotikus megoldását, ami t  esetén alakul ki. Feltesszük, hogy nincsenek külső erők, ekkor.
Makai M.: Transzport51 A koordinátázás kérdése Ha a világban meg kell adni egy helyet: fizikai koordináták (x,y,z) (origó és egység) postai címzés pl.
Ideális folyadékok időálló áramlása
A betatron Az időben változó mágneses tér zárt elektromos erővonalakat hoz létre. A térben indukált feszültség egy ott levő töltött részecskét (pl. elektront)
A Van der Waals-gáz molekuláris dinamikai modellezése Készítette: Kómár Péter Témavezető: Dr. Tichy Géza TDK konferencia
A hőmérsékletváltozás és globális felmelegedésről szóló esszé készitésének folyamatai.
Sándor Balázs BME, Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék
A mozgás egy E irányú egyenletesen gyorsuló mozgás és a B-re merőleges síkban lezajló ciklois mozgás szuperpoziciója. Ennek igazolására először a nagyobb.
Az áramló folyadék energiakomponensei
Variációs elvek (extremális = min-max elvek) a fizikában
Az atommag alapvető tulajdonságai
Hibaszámítás Gräff József 2014 MechatrSzim.
Az Euler-egyenlet és a Bernoulli-egyenlet
Numerikus differenciálás és integrálás
Fizikai kémia 2 – Reakciókinetika
Fizikai kémia 2 – Reakciókinetika
Hővezetés falakban Író Béla Hő- és Áramlástan II.
Szilárd testek fajhője
A gáz halmazállapot.
A gázállapot. Gáztörvények
Rácsrezgések kvantummechanikai leírás
Készletek – Állandó felhasználási mennyiség (folyamatos)
Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1
Reakciókinetika.
Hőtan.
Előadás másolata:

A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban Amennyiben S az egyensúlyi helyzethez közeli állapotban van, feltehető, hogy lokális egyensúly áll fenn minden pontban: Fizikai értelemben Matematikai értelemben A lokális egyensúly pedig abból áll, hogy n,  és u függ a helytől és az időtől. Mivel a fenti átlagok v-től függetlenek viszont Erre bevezetjük a D operátort

Ha a lokális egyensúly fennáll, akkor az előző egyenlet jobbol- dala “kis szám”. Ebből viszont az következik, hogy a bevezetett helyfüggő átlagmennyiségek közelítőleg kiegyenlítik az egyen- súlyi állapotra levezetett mérlegegyenletet. Ehhez értékeljük ki a lokális hőáramot és a nyomást: Ez utóbbit vessük össze a nyomás definíciójával:

A Boltzmann-eloszlásban öt szabad állandó van, ezek kifejez-hetőek a lokális (sebességekre vonatkozó) momentumokkal. Nézzük a nyomástenzor elemeit: Mivel Ami egy összefüggés a lokális hőmérséklet, nyomás és részecske-szám között-lokális egyensúly feltételezése mellett.

A vizsgált közelítésben a mérlegegyenletek: Következtetés: sohasem áll be az egyensúly!!! (az anyag- és energia áramok nem csökkennek az idővel) Ezzel a 0. rendű közelítés tárgyalását befejeztük.

Az első és harmadik egyenletből következik, hogy egy áramvonal Mentén csak adiabatikus folyamat mehet végbe. Írjuk az első és Harmadik egyenlet az alábbi alakba: Itt beírtam, hogy cv=3/2. A két egyenletet összeadjuk és felhasználjuk az alábbi összefüggést: P=/m, amivel Megmutatható, hogy a sűrűség is, a nyomás is kielégít egy lineáris hullámegyenletet, azaz, nincs gyengítés.

Az első-rendű közelítésben feltesszük, hogy Első lépésként kiszámítjuk az ütközési integrált (g2 elhagyásával): A második tag részletezve:

Amivel a Botzmann-féle transzportegyenlet így írható: Amennyiben g<<f(0), és f(0)-ban csak valamely L távolság után látunk észrevehető változást, az alábbi összefüggést kapjuk: Vagy: Ebből az látható, hogy f(0) akkor jó közelítés, ha az a karakterisz- tikus L távolság, amelyen a lokális sűrűség, hőmérséklet és átlag- sebesség megváltozik sokkal nagyobb, mint a szabad úthossz.

A, Hilbert módszere Az előzőekben bemutatott közelítések ad hoc jellegűek. Kívá- natos egy szisztematikus és általános módszer kidolgozása. Ez egyben leírja, hogyan kapcsolódik a molekulák dinamikája (a transzportelmélet) a gáz vagy folyadék egészének viselkedéséhez. Jelölés: az ütközési integrálra bevezetjük a jelölést, explicit módon kifejezve, hogy az ütközési integrál nem lineáris. A megoldandó egyenletben az ütközési integrálba becsem- pésszük a dimenziótlan e paramétert, ami a szabad úthosszt méri alkalmas egységekben. A megoldandó egyenlet:

Mivel D-ben van idő szerinti deriválás ezért kell kezdeti felté- tel, aminek súlya a megoldásban t=t/e időállandóval expo- nenciálisan csökken. A hely szerinti deriválás miatt egy véges közeg határán peremfeltételt kell előírni. A peremfeltétel súlya a megoldásban a felülettől távolodva csökken. Nyomáshullámok esetén r,  és u szakadásos függvény lehet. Az említett tranziens jelenségek leírásához is szükség van egy pontos elméletre. Keressük a megoldást alakban.

A keresett forma egy fajta aszimptotikus sorfejtés. Az első három egyenlet: Az első egyenlet adja az egyensúlyi megoldást. Bevezetjük az L lineáris operátort: Jelölje N az L operátor nullterét, amit a megmaradó mennyiségek és az egyensúlyi megoldás meghatároznak: if0(r,v,t) egy bázis az N térben, itt i=1,…,4 a megmaradó mennyiségeknek megfelelően.

Bevezetjük az N-térre vetítő P projektor operátort. Jelölje R az L operátor értékkészletét, R-ben olyan F függvények találhatóak, amelyekre: i=1,…,4. Azaz, az R térbeli függvények nem adnak járulékot a megmaradó mennyiségekhez. A megoldás minden komponensét felbontjuk egy N-beli Y-re és egy R-beli F-re: n -a hidrodinamikai komponens, Fn-a kinetikus vagy transzport komponens, továbbá a hidrodinamikai komponens kifejezhető az egyensúlyi állapothoz tartozó megoldással. Ebben szerepelnek a (rn, un, n) ismeretlen függvények.

Most visszatérünk az egyenletek megoldásához. Az egyenletek alakja: LFn=qn. Ez a Fredholm alternatíva szerint akkor oldható meg, ha a forrás ortogonális a homogén egyenletre. A megoldást egyszerűen L inverzével (tehát csak formálisan) fogjuk felírni: Egyenlet f0-ra Forrásos egyenlet F1-re Forrásos egyenlet Y1-re Forrásos egyenlet F2-re Forrásos egyenlet Y2-re

Célszerű a hidrodinamikai tagot az alábbi alakban keresni: Ne felejtsük el, hogy a P projektor az 5 megmaradó mennyiségnek megfelelően 5 integrál eltűnését adja meg. Ezért az első sárga egyenlet 5 csatolt diff. egyenletet jelent, amit meg lehet oldani (r0, u0, 0)-ra. A második sárga egyenlet újra 5 csatolt diff. Egyen- letet jelent (r1, u1, 1) -re, stb. A két fekete egyenlet lokális (L csak a sebességekre hat) az r és t változókban. Peremfeltételek és kez- deti értékek.

B, Chapman-Enskog módszer Tekintsük a Hilbert- módszer sárga egyenleteit és a forrástagok- ban vegyük figyelembe az e-ban magasabb rendű tagokat is, pontosabban: a keresett függvény legyen fn az első egyenlet baloldalához társítsuk a második egyenlet jobboldalát, és írjuk ki, hogy az e-rendű. Ezt ismételjük meg a második és harmadik sárga egyenlettel. A kapott egyenletek:

Az első egyenlet a Navier-Stokes egyenletrendszer amiből 0, 0, u0 meghatározható: viszkozitás Hővezetési eh nyomástenzor

A Hilbert-módszernek és a Chapman-Enskog egyenleteknek több változata is használatos. Az itt megadott változat megtalálható: J. Fertziger, H. Kaper: Mathematical Theory of Transport Processes in Gases, North-Holland, Amsterdam, 1972 A sorfejtésben szereplő e paraméter egyik értelmezése: Knudsen-szám:

C, Az ütközési integrál linearizálása Tekintsünk egy ritka gázt, nem távol az egyensúlyi állapotától. Ekkor a sűrűségfüggvény jó közelítéssel: Ahol a második tag kicsi, a négyzete elhagyható.

Ez a lineárizált Boltzmann-egyenlet. A részecskék közötti poten- ciálból kiszámítható s. A neutrontranszporthoz hasonló alakra hozva: Az első tag divergál, ha a potenciál alakú. Ezért fel szokás tételezni, hogy a potenciál egy távolság után “levág”. Az s kitevőtől függ, hogy az ütközési sűrűség hogyan változik a sebességgel. Néhány egyéb lineáris ütközési integrál

Diffúzió közegben Amennyiben a makroszkópikus hkrm független a fázistérbeli sűrűségtől az egyenlet lineáris. Kollektív jelenségek Jellemzően nemlineáris

A szerkezetvizsgálat többnyire lassú (termikus) neutronokkal történik. Van Hove kimutatta, hogy ebben az esetben a szórás magfüggvénye két részből áll: G(r,t)d3r--annak val.sége, hogy amennyiben egy neutron található az origóban t=0-kor, akkor egy másik mag található t-kor az r körüli d3r-ben . Gs(r,t)d3r--annak val.sége, hogy amennyiben egy neutron található az origóban t=0-kor, akkor egy másik, ugyanolyan mag található t-kor az r körüli d3r-ben .

A termikus neutron tehát nem egyes atomokról szóródik, hanem csoportokról, aggregátumokról. Ennek tömege a neutron tömegé- nek sokszorosa, ezért rugalmas szóráskor energiaváltozás lényegében nincs. Ezért a következő szórástípusok lehetségesek: rugalmas, inkoherens szórás rugalmatlan inkoherens szórás rugalmas koherens szórás rugalmatlan koherens szórás. inkoherens koherens

Töltött részecskék transzportja Az elektron az elektronhéjjal is, a maggal is kcshat. A kschatás távolsága elvileg végtelen. Következmény: lényegében folytonos, gyenge kcshatás (elektronoktól), időnként lórúgás-szerű kcshatás magoktól. A lineáris Boltzmann-egyenletben nem ismertek a mag- függvények, ezért a Monte-Carlo módszer használatos. Foton transzport A kcshatás erősen függ a foton energiájától, ezért a szórás erősen nemlineáris. A makroszkópikus hkrm folytonos függvénye a helynek, ahogyan az összetétel változik. A szabadúthossz erősen függ a hullámhossztól.