Matematika II. 1. előadás Geodézia szakmérnöki szak 2010/2011. tanév Kataszteri ágazat tavaszi félév

Az előadás vázlata Bevezetés, a félév tematikája, követelmények Problémák és megoldásuk Optimális megoldás keresése –Térinformatika –Gazdasági feladatok –Geodéziai feladatok –Gráfok, hálózatok, útvonalak –Matematikai modellek (legkisebb négyzetek módszere, transzformációk)

Az előadás vázlata II. Ma: lineáris programozás –A feladat megfogalmazása –Grafikus megoldás 2 változóra –A megoldhatóság feltétele –A Szimplex-módszer algoritmusa –Mintapéldák –Modell-alkotás a gyakorlatban

Lineáris programozás Miért lineáris ? Lássunk egy példát! A feladat: –Szendvicsek gyártása egy házibulira! –Alapanyagok: 120 dkg vaj 100 dkg sonka 200 dkg sajt 20 db főtt kemény tojás

Lineáris programozás A szendvicsek típusai: –A típus (x 1 darab): 3 dkg vaj 3 dkg sonka 2 dkg sajt 1/4 db tojás –B típus (x 2 darab): 2 dkg vaj 1 dkg sonka 5 dkg sajt 1/2 db tojás

Lineáris programozás Mi a feladat? –A lehető legtöbb szendvics elkészítése az alap- anyagokból (kenyér korlátlanul rendelkezésre áll). Matematikai modell: x 1 >= 0; x 2 >= 0(negatív mennyiség ?) 3·x 1 + 2·x 2 <= 120(vajas feltétel) 3·x 1 + x 2 <= 100(sonkás feltétel) 2·x 1 + 5·x 2 <= 200(sajtos feltétel) 1/4·x 1 + 1/2·x 2 <= 20(tojásos feltétel) Célfüggvény:z = x 1 + x 2  max.

Lineáris programozás Grafikus megoldás: 1. lépés: a „vajas” egyenes A félterek irányítása 2. lépés: a többi egyenes A lehetséges megoldások halmaza A célfüggvény egyenesei 3. lépés: Optim. megoldás

Lineáris programozás Tapasztalatok a feladat kapcsán: –A lehetséges megoldások halmaza a síknak egyenesekkel határolt tartománya –Az azonos célfüggvény-értékkel rendelkező pontok egy párhuzamos egyenes-sereg valamelyik egyenesén fekszenek –A max. célfüggvény-értéket ezen egyenesek párhuzamos eltolásával kaphatjuk meg

Lineáris programozás A grafikus megoldás elemzése:

A Szimplex módszer A feladat: –Adott egy m egyenlőtlenségből álló n változós lineáris egyenlőtlenségrendszer és egy n változós lineáris függvény; –Az egyenlőtlenségrendszer együtthatómátrixa legyen A; –Az egyenlőtlenségrendszer jobb oldalán álló paraméterek m dimenziós vektora legyen b; –A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c*; n dimenziós sorvektor;

A Szimplex módszer A lineáris programozás általános feladata ezek alapján a következő: A x = 0 z = c* x  max.! Észrevételek: –A feltételrendszerben lehetnek = irányú egyenlőtlenségek is. –Az esetleges egyenletek helyettesíthetők két megfelelő egyenlőtlenséggel. –A maximum-feladat helyett szerepelhet minimum- feladat is, ha a -c* vektorral dolgozunk.

A Szimplex módszer A lineáris programozási feladatat kanonikus alakja a következő: A x = b;x >= 0 z = c* x  max.! Észrevételek: –Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek szerepelnek; –Az általános alak mindig átalakítható kanonikusra, néhány új változó bevonásával.

A Szimplex módszer Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános feladatot, amelyben a következő feltételek szerepelnek: A 1 x = b 1 A 2 x <= b 2 A 3 x >= b 3 x >= 0 z = c* x  max.!.

A Szimplex módszer Az előző feltételrendszer új változók bevezetésével átalakítható az alábbira: A 1 x = b 1 A 2 x + E q u= b 2 A 3 x - E r v= b 3 x >= 0;u >= 0;v >= 0 z = c* x  max.!.

A Szimplex módszer A Szimplex módszer induló táblája az alábbi:

A Szimplex módszer Az algoritmus lépései: –A megoldás optimális, ha a c* minden együtthatója negatív; –Ha van c j > 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát vizsgáljuk; –Megkeressük azt a a k,j > 0 számot, amelyre az x k /a k,j hányados minimális lesz, ez lesz a generáló elem; –Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy, hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással; –Az eljárást az elejével folytatjuk.

A Szimplex módszer Megállási feltétel: –Nincs c j > 0 elem, ekkor találtunk optimális megoldást; –Bár még van c j > 0, de ebben az oszlopban minden a k,j <= 0; Ebben az esetben a célfüggvény nem korlátos, tehát nincs optimális megoldás

Példa a Szimplex módszer alkalmazására Egy üzemben öt különböző terméket lehet három korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló erőforrás segítségével előállítani. Az erőforrások mennyiségét, a fajlagos ráfordításokat és az egyes termékek fajlagos hozamát a következő táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására A mintapélda alapadatai:

Példa a Szimplex módszer alkalmazására Az induló Szimplex tábla, amely egyben egy lehetséges megoldást is tartalmaz: Mivel van c j > 0, a megoldás még nem optimá- lis. Válasszunk generáló elemet!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására Az első transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Ismét van c j > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újabb generáló elemet!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására A második transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Még van c j > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újra generáló elemet!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására A harmadik transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Itt már az összes c j < 0, a megoldás tehát opti- mális.

A mintapélda megoldása Az optimális termelési stratégia az előbbiek alapján tehát az, ha a vállalat a következő- képpen jár el: –I. termék:20 egység –II. termék:30 egység –V. termék:50 egység Ekkor a tiszta hozam: –z = 230

Módosított mintapélda A módosított mintapélda alapadatai (a IV. termék fajlagos tiszta hozama 1-ről 2-re nő): Állítsuk elő a megoldást!