Kerttechnikai és műszaki tanszék Előadó: dr. Tegze Judit Elérhetőség: Időpont: minden szerda 16 h, K2 terem, ezen kívül március 8. hétfő, 8 h, K4 terem E félév feladata a Statika A következőé a Szilárdságtan 1. Zárthelyi időpontja: március 18. 2. Zárthelyi időpontja: április 29. Pót zh időpontja: május 11. Házi feladat letölthető a tanszék honlapjáról Nem kell beadni, célja csak az önálló gyakorlás Megoldás ellenőrzésül 2 héttel később megtalálható ugyanott

Ajánlott irodalom: Dr. Becker Sándor –Orosz László: Statika (1995) Dr. Gáspár Zsolt – Dr. _Tarnai Tibor: Statika (jegyzet, azonosító:95036) Tamássy T.: - Dr. Szentiványi B,: Statika példatár (jegyzet J-9-1094)

Feladat Speciális helyzetű erőt bontunk két adott irányú komponensre: F = F1 +F2 Geometriai megoldás: paralelogramma-szabály Számításos megoldás: egyenletrendszert írunk fel a vetületekre: X1 +X2 = X Y1 +Y2 = Y a1 = -30o = +330o a 2= 60o a = 0o F2 Ebbe beírjuk a vetületeket az irányszögek szögfüggvényeivel kifejezve: X1 = F1. cos a1 és Y1 = F1. sin a1 X2 = F2. cos a2 és Y2 = F2. sin a2 X = F. cos a és Y = F. sin a Ezzel a két egyenletben már csak két ismeretlen lesz: F1 és F2 Y2 F a2 X2 a1 X1 Y1 F1

Közös metszéspontú erők eredője Ajánlott táblázatos számítási forma Fi [kN] a1o a1 ' cos a1 ' sin a1 ' Fix Fiy 1 F1 30 0,866 0,5 0,866 F1 0,5 F1 2 F2 330 -30 -0,866 0,5 F2 -0,866 F2 3 -F F1 + F2 – F = 0 7 Fix: ∑Fix = ∑Fi cos ai = 0 Fiy: ∑ Fiy = ∑Fi sin ai = 0 Fix: 0,866 F1 + 0,5 F2 - F = 0 Fiy: 0,5 F1 + 0,866 F2 + 0 = 0

Ismétlés matematikából: vektorokra vonatkozó definíciók és összefüggések Vektorok összegére igaz: a + b = b + a kommutatív (a + b) + c = a + (b + c) asszociatív a + b ≤ a + b háromszög-egyenlőtlenség 1

skalár és vektor szorzata Az eredménye vektor c a = a c, c d a = d c a, (c + d) a = ca + da, c(a + b) = ca + cb

Vektor felírása koordináta-vektorokkal a = ax +ay +az = axi +ayj +azk itt i, j, k a koordináta-vektorok (egységvektorok), ax , ay , az a koordináta irányú komponensek ax , ay, az a vektor derékszögű koordinátái

Vektor-vektor szorzatok Két vektor skaláris szorzata – az eredménye skalár a  b = ab cos φ  i ax x b a j ii = jj = kk = 1 Ij = ik= ji=jk= ki= kj = 0 ay ax = a i = a 1 cos a = a cos a ay = a j = a 1 sin a = a sin a 5 a  b = (axi + az j + azk)(bxi + byj + bzk) = axbx + ayby +azbz a = a =√aa y

Vektor-vektor szorzatok Két vektor vektoriális szorzata – az eredménye vektor a × b = ab sin φ e a × b = i j k = (aybz – azby) i + (azbx – axbz) j + axby –aybx) k ax aY az bx by bz Ebből következik a szuperpozíció (egymásrahalmozás) elve: Több hatás együttes működése az egyes hatások eredményének összege (mert az eredmények a hatások lineáris függvényei. determináns 2

Az erő vektorának megadása Térbeli vektor megadható 6 adattal: r = r(x,y,z) F = F(X,Y,Z) A támadáspont r helyvektorának és az F erővektornak három adata pl. 3 vetülete, Fx = F. cos a Fy = F. cos b Fz = F. cos g z’ z F Z g a X Y x’ b r x Balcsavaros koord. R. y’ y Merev testek mechanikájában ebből egyet elvethetünk, mert az erő a hatásvonalában eltolható, ezért 5 adat elegendő

A síkbeli erő vektorának megadása és a forgatónyomaték rxi x r = rxi + ryj F = Fxi + Fyj j r Fx i Az F erő origóra vonatkoztatott nyomatéka: Mo = r × F Mo = r × F = (rxi + ryj) × (Fxi + Fyj) Mo = (rx Fy - ryFx) k Nagysága Mo = r F sin  = k F a vektoriális szorzat definíciója alapján ryj  F Fy j y 14’

Az erő nyomatéka az origóra Mo x k  Mo Mo = r F sin  = k F r sin  = k r x k F  r   F y 5 Az erő nyomatéka pozitív Az erő nyomatéka negatív y

Nyomatékvektor iránya z Mo + x 18’,2 + y

Erőpár és nyomatéka F1 F1 = F2 = F F2 = -F1 k az erőpár karja k>0  Erőpár valamely pontra vonatkozó nyomatéka az erőpárt alkotó erők nyomatékösszege F2 M = k F zéruserő erő erőpár erőcsavar 3 dinám Definíció: Erőcsavar: az F erő és a vele párhuzamos nyomatékvektor , mint egyetlen dinám

Erőpár nyomatékvektorának kiszámítása Mo = rA × F1 + r B× F2 Mivel F2 = -F1 rB x rA F1 B r A k>0  Mo = rA × F1 - r B× F1 =(rA - r B) × F1 = r × F1 k1 F2 Vektoriális szorzás nélkül is számítható: Mo = k2 F2 - k1 F1 =(k2 - k1) F1 = k F1 7 Független az origó helyétől, tehát a sík bármely pontjára ugyanakkora az erőpár nyomatéka y y

F erő 0 pontra való redukálása  Mo társerőpár = r x x F F0 = F F0 társerő y y Mo = r × F 2

Az M0 nyomatékvektor egyenértékű egy erőpárral Mo = kF = k1F1 F F1   = = k1 k   F1 Mo F 1

Dinámrendszer redukálása az origóra n erőből és m nyomatékból álló dinámrendszer M0 x F1 F2 F3 … Fn M1 … Mm y F0 Társerő és társerőpár

Dinámrendszer redukálása az origóra n erőből és m nyomatékból álló dinámrendszer A nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba, így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F1, … , Fn, M1, … ,Mm) = (F0, M0) i = 1,…,n j = 1, …, m szétszórt erők nyomatékok Az erők helyettesíthetők egy társerővel és társerőpárral: Fi0 = (Fi0, Mi0) i = 1,…,n Így a dinámrendszer: (F1,M10, … , Fn, Mn0, M1, … ,Mm) = (F0, M0) F0 = ∑ Fi0, M0 = ∑ MI0 + ∑ MI két vektoregyenlet vagy F0x = ∑ Fi0x, F0y = ∑ Fi0y, M0z = ∑ Mi0z + ∑ Miz három skaláregyenlet További jelölések: t tengelyre felírt vetület Ft A pontra felírt nyomaték M(A) 3 n n m I = 1 I = 1 I = 1 n n n n I = 1 I = 1 I = 1 I = 1 Két vetületi egyenlet nyomatéki egyenlet

Dinámrendszer eredője Az erők helyettesíthetők egy társerővel és társerőpárral, a nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba. Így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F1, … , Fn, M1, … ,Mm) = (F0, M0) = D i = 1,…,n, és j = 1, …, m Ha F0 és M0 is zérus nagyságú, akkor egyensúlyi rendszer D = 0 Ha F0 zérus nagyságú, de M0 nem, akkor D = M, az eredő nyomaték M0 = ∑ Mi0 + ∑ Mi0 M0z = ∑ Mi0z + ∑ Miz Ahol Mi0 = ri × Fi ill. M0iz = rixFiy –riyFix Ha F0 nem zérus nagyságú, akkor az eredő egy erő D = (F0, M0) = R R = F0, : helyvektorát pedig valamelyik koordináta-tengelyen választjuk: r = M0/ F0y i , ha F0y = 0, különben r = -M0/ F0x j Skalár egyenletekkel: Rx = F0x R y = F0y ha F0y = 0, r x= M0/ F0y , ry = 0, Különben rx = 0 , ry = -M0/ F0x n n n m I = 1 I = 1 I = 1 I = 1 4

Dinámrendszer egyensúlyozása egyetlen dinámmal egy adott ponton átmenő erővel és nyomatékkal egy adott ponton átmenő és adott hatásvonalú erővel három adott hatásvonalú erővel 2

Dinámrendszer egyensúlyozása egyetlen dinámmal Már láttuk, hogy: A nyomatékok szabadvektorok, eltolhatók az origóba, így a teljes dinámrendszer egyenértékű egy társerővel és társerőpárral: (F1, … , Fn, M1, … ,Mm) = (F0, M0) i = 1,…,n, j = 1, …, m Ezen eredők ellentettje az egyensúlyozó erő. 1

Dinámrendszer egyensúlyozása egy adott ponton átmenő erővel és nyomatékkal Tétel: Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk egy adott ponton átmenő erővel és egy nyomatékkal. Válasszuk az adott pontot a koordináta-rendszer origójául (láttuk, erre redukálható a dinámrendszer). Az így kapott F0, M0 dinámok ellentettjei egyensúlyozzák a vizsgált dinámrendszert. Tétel:Minden dinámrendszert egyensúlyozhatunk az eredőjének az ellentettjével 2

Egyensúlyozás egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel (F1, … , Fn, M1, … ,Mm, A, B) = 0 F1 F2 F3 Fn M1….. Mm x A Ax 3 y B Ay k Az A pontra felírt nyomatéki egyenletből kiszámítható a B erő (hacsak az A pont nincs a b egyenesen) Ezután A meghatározható az x és y tengelyre felírt vetületi egyenletekből  b

Tétel: Minden síkbeli dinámrendszer egyensúlyozható e síkban fekvő egy adott ponton átmenő és egy adott hatásvonalú erővel, ha az adott pont nem illeszkedik az adott egyenesre 1

Dinámrendszer egyensúlyozása három adott hatásvonalú erővel (F1, … , Fn, M1, … ,Mm, S1, S2, S3) = 0 1. eset: nincs köztük párhuzamos Ritter-módszer O2 M Egyik kiválasztott erő főpontjának a másik két erő hatásvonala metszéspontját nevezzük. Itt Si-hez tartozik Oi Fn F1 F2 S3 c 5 S1 O1 O3 a S2 b Ritter-módszer: bármelyik erő nagysága kiszámítható a főpontjára felírt nyomatéki egyenletből

2. eset: Főpont a végtelenben (két erő párhuzamos) c M O2 Fn F1 F2 O3 a  S1 b Két párhuzamos erő nagysága kiszámítható a főpontjára felírt nyomatéki egyenletből (S2 és S3) Az őket metsző harmadik a t segédvonalra vett vetületi egyenletből határozható meg (S1)  5 t S2