A háromszögekhez kapcsolódó nevezetes tételek József Attila Gimnázium Alkotópályázat 2001 Kiss Ágnes 11. A Felkészítő tanár: Rójáné Oláh Erika

A háromszög belső szögeinek összege 180° A háromszög külső szögeinek összege 360° A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével. a + b + g =180° a‘ + b‘ + g‘ = 360° C g’ a‘ = b + g g b‘ =a + g g‘ =a + b a' a b B A b’

A háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik. A háromszög-egyenlőtlenség: a háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal.

A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. A háromszög oldalfelezői merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

A háromszög köré írható kör Középpontja a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja, mely hegyesszögű háromszög esetén háromszögön belül tompaszögű háromszög esetén háromszögön kívül derékszögű háromszög esetén az átfogó felezőpontjában van. Sugara: r =AO=BO=CO

Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felező merőlegesei egy pontban metszik egymást!

A háromszög oldalfelező merőlegesei Szerkesszük meg az AB és BC oldalak felező merőlegeseit! C f2 O A B f1 f1; f2 az O pontban metszik egymást O rajta van f1-n: OA=OB O rajta van f2-n: OC=OB OA=OB OC=OB OA=OC azaz O rajta van az AC oldalfelező merőlegesén

Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást!

A háromszög szögfelező egyenesei Bizonyítás: ABC háromszögben meghúzzuk az a és b szög felezőit (fa; fb) ezek egy pontban metszik egymást (metszéspontjuk: O pont) C fa b g fb a O a b c A B fg OÎ fa; ezért d(Oc)=d(Ob) OÎ fb; ezért d(Oc)=d(Oa) d(Ob)=d(Oa) Azaz O egyenlő távolságban van a és b oldaltól, tehát rajta van a g szög szögfelezőjén.

A háromszögbe írható kör C fa Húzzuk be az a; b; g szögek szögfelezőit! Metszéspontjuk az O pont. b g fb a O a b Az O pont mindhárom oldaltól egyenlő távolságra van, így a háromszögbe írható kör középpontja. c A B fg Sugara az O pontból valamelyik oldalra bocsátott merőleges szakasz.

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást!

Az A’B’C’ háromszögben mc merőleges B’A’-re és felezi azt. A háromszög magasságvonalai Bizonyítás: ABC háromszög oldalaival húzzunk párhuzamos egyenest a csúcsokon keresztül! C B’ A’ b ma mc mb a A’B’C’ háromszöget kapjuk. A c B ABA’C paralelogramma AB=A’C ABCB’ paralelogramma AB=CB’ C‘ AB=A’C A’C=CB’ AB=CB’ Húzzuk be az AB oldalhoz tartozó magasságot: mc ! Az A’B’C’ háromszögben mc merőleges B’A’-re és felezi azt.

Az oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást. A háromszög magasságvonalai Hasonlóan ma a B’C’ oldal felező merőlegese és mb a C’A’ oldal felező merőlegese Az oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást. Az ABC háromszög magasságvonalai egy pontban, a magasságpontban metszik egymást.

A háromszög középvonala A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. A háromszögnek három középvonala van. A háromszög bármely középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza fele a harmadik oldal hosszának. A B C F1 F2 F3

A háromszög középvonala Bizonyítás: Tükrözzük az ABC háromszöget az F oldalfelező pontra! ABA’C paralelogrammát kaptuk. Húzzunk az F ponton át párhuzamost az AB oldallal! (DD’ szakaszt kapjuk) Ez az ABA’C paralelogramma középvonala. A B C =B’ E’ A’ DD’=2DFDD’=AB AB 2 DF= F D AC 2 D’ EE’=2EF EE’=AC EF= BC 2 ED= E =C’

Igazolja, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást!

A háromszög súlyvonalai Bizonyítás: Kössük össze F1 és F2 oldalfelező pontokat! C F1 F2 az ABC háromszög középvonala: F1 F2 párhuzamos AB-vel és F1 F2 = F1 F2 S AB 2 G1 G2 A B F3 ABS háromszögben G1 az AS oldal felezőpontja G2 a BS oldal felezőpontja G1 G2 az ABS háromszög középvonala: G1 G2 párhuzamos AB-vel és G1 G2 = AB 2

A háromszög súlyvonalai B C S F1 F2 F3 G2 G1 G1G2F1F2 paralelogramma, mert G1G2 párhuzamos F1F2 -vel és G1G2=F1F2 SF1=SG1, mert S a G1G2F1F2 paralelogramma átlóinak metszéspontja SG1=G1A, mert G1 az AS oldal felezőpontja S az AF1 szakaszt 2:1 arányban osztja Hasonlóan: S a BF2 szakaszt 2:1 arányban osztja S a CF3 szakaszt 2:1 arányban osztja S az oldalakhoz közelebbi harmadolópont.

Szögfelező tétel Bármely háromszögben egy belső szög felezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Bizonyítsuk be: a1 b a2 c = C a 2 1. Forgassuk el b oldalt A csúcs körül c oldallal egy egyenesbe (C’ csúcs)! a b a 2 a 180°-a C’ A c B b 2. C’AC háromszög szögei: 180°-a; a 2 ; a 2 (mert egyenlő szárú háromszög)

Ezt akartuk bizonyítani! Szögfelező tétel b A C’ B C c 180°-a a 2 a1 Q a2 a 2 a 2 3. Húzzuk be az AQ szögfelezőt! a ; a 2 2 4. CC’ párhuzamos AQ-val (egyállású szögek: CC’A és QAB) 5. B csúcsú szögre írjuk fel a párhuzamos szelők tételét! c a2 b a1 = Ezt akartuk bizonyítani!

a megfelelő oldalak aránya egyenlő Magasság tétel Bármely derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. C . a b m =Öpq a b m b Húzzuk be a háromszög magasságvonalát! . p a q B c A BQC háromszög @ AQC háromszög (mert szögeik a; b és derékszög) a megfelelő oldalak aránya egyenlő m p = q m =Öpq m2=pq

Befogó tétel Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületének és az átfogónak. Bizonyítás: C a= Öpc b=Öqc . a b a b BQC háromszög @ ABC háromszög (mert szögeik a; b és derékszög) m b . p a q B c A = (a megfelelő oldalak aránya egyenlő) a p c a a2=cp a= Öcp Ugyanígy bizonyítható b-re is.