Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged Az analízis elemeinek alkalmazása egyenletek, szélsőérték feladatok megoldásában, egyenlőtlenségek bizonyításában Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged

Fontosabb definíciók I. Injektív függvény: Ha és esetén , akkor azt mondjuk, hogy f egy-egyértelmű leképezés (injektív leképezés, injekció). Bijektív függvény: Ha egy-egyértelmű és értékkészlete a B halmaz, akkor azt mondjuk, hogy f kölcsönösen egyértelmű leképezést létesít A és B között. Inverz függvény: Ha bijekció, akkor -gyel jelöljük azt a leképezést, amely minden b=f(a) elemhez hozzárendeli a-t. Ezt a leképezést az f függvény inverz függvényének nevezzük.

Monoton függvény: Az f függvény monoton növekvő (csökkenő) az halmazon, ha minden esetén ( ). Ha a függvényértékek között nem engedjük meg az egyenlőséget, akkor az f szigorúan monoton növekvő (csökkenő) függvény. Konvex függvény: Az f függvény konvex (konkáv) az értelmezési tartománya I intervallumán, ha bármely esetén . Ha a fenti kifejezésben nem engedjük meg az egyenlőséget, akkor f szigorúan konvex, fordított irányú egyenlőtlenség esettén konkáv, ill. szigorúan konkáv.

A konvex függvény definíciójának szemléletes megközelítése 1. lemma: Az f függvény akkor és csak akkor konvex az I intervallumon, ha bármely és 0<t<1 számokra

Jensen-egyenlőtlenség Jensen-tétel: Az f függvény akkor és csak akkor konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, ha valahányszor , akkor . Ha nem engedjük meg az egyenlőséget, akkor az f függvény szigorúan konvex. Fordított irányú reláció esetén, pedig konkáv.

Még két fontos definíció Függvény pontbeli folytonossága (Heine): Az f függvény legyen értelmezve az a pont valamely környezetében! Az f folytonos az a pontban, ha bármely esetén . Nyílt intervallumon folytonos függvény: Az f függvény folytonos az I nyílt intervallumon, ha annak minden pontjában folytonos.

Konvexitás és folytonosság Konvex folyt..ggb 2. lemma: Legyen f konvex az értelmezési tartománya I intervallumán! Ha és , akkor . Ha I szigorúan konvex az I intervallumon, akkor szigorú egyenlőtlenség áll fenn. Tétel: Ha f függvény a nyílt I intervallumon konvex, akkor folytonos ezen az intervallumon.

Gyengén (Jensen-) konvex függvények Definíció: Ha az f függvényre teljesül, hogy az értelmezési tartománya I intervallumán minden esetén , akkor az f függvényt az I intervallumon gyengén konvexnek nevezzük. Ha szigorú egyenlőtlenség áll fenn akkor a függvény szigorúan gyengén konvex. Ha az egyenlőtlenség fordított irányú, akkor a függvény gyengén konkáv.

A gyengén konvex és a konvex tulajdonság kapcsolata A Jensen-tételből következik, hogy ha az f függvény konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, akkor ott gyengén konvex is. A fordított állítás nem igaz. Vannak olyan gyengén konvex függvények, melyek nem konvexek. Bizonyítható, hogy van olyan függvény , melyre teljesül minden valós x, y esetén, hogy f(x+y)=f(x)+f(y) (Cauchy- függvényegyenlet), de f nem folytonos. Könnyen bizonyítható, hogy ha egy f függvény kielégíti a fenti egyenletet, akkor bármely r racionális szám esetén f(rx)=rf(x). Tehát ha az f függvény kielégíti a fenti függvényegyenletet, akkor teljesül rá, hogy f([a+b]/2)=[f(a)+f(b)]/2, így a függvény gyengén konvex, de nem konvex, mert nem folytonos.

Két fontos tétel 2.1. tétel Ha az f függvény folytonos és gyengén konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, akkor f konvex I-ben. (Hasonló tétel fogalmazható meg a szigorúan gyengén konvex esetre is.) 2.2. tétel: Ha f gyengén konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, akkor minden esetén

Bernoulli-egyenlőtlenség 3.1. tétel: Az exponenciális függvény szigorúan konkáv az értelmezési tartományán. Bizonyítás: Mivel az exponenciális függvény folytonos az értelmezési tartományán és , ezért a 2.1. tétel miatt szigorúan konvex az értelmezési tartományán. 3.2. tétel: Legyen a>-1! a) Ha , akkor . b) Ha , akkor . Bizonyítás: Egyenes következménye az előző tételnek és a konvexitás definíciójának ill. a 2. lemmának. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x=0, vagy x=1. Bernoulli-egyenlőtlenség.ggb

Súlyozott számtani-mértani közép Definíció: Az pozitív valós számok n-tagú súlyozott számtani (mértani) közepének nevezzük az ( ) kifejezést, ahol pozitív valós számok és . 4.1. tétel: Az függvény szigorúan konkáv az értelmezési tartományán. Bizonyítás: Az lg függvény folytonos az értelmezési tartományán és bármely pozitív x,y esetén , így a 2.1. tétel alapján szigorúan konkáv.

Súlyozott számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenség Tétel : Az , egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha mind egyenlő. Bizonyítás: Mivel a tízes alapú logaritmus függvény konkáv, ezért a Jensen-egyenlőtlenség alapján . Mivel szigorúan monoton növekvő, ezért A Jensen egyenlőtlenségből következik, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha mind egyenlő.

Hatványközepek közötti egyenlőtlenség 5.1. tétel: Az szigorúan konvex az értelmezési tartományán. Bizonyítás: Mivel f folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konvex. Azaz , minden pozitív x, y-ra. Legyen (x+y)/2=t, x/t=u és y/t=v! Ekkor u+v=2. A Bernoulli-egyenlőtlenség miatt: . Ezt beszorozva -nel kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget.

Hatványközepek Definíció: Az pozitív valós számok k-adrendű ( ) súlyozott hatványközepének nevezzük az kifejezést, ahol pozitív valós számok és . - k=1: -k=2

Hatványközepek közötti egyenlőtlenség 5.2. étel: Legyenek az számok rögzített számok! Ekkor az függvény monoton nő a) a pozitív; b) a negatív valós számok halmazán. Bizonyítás: a) Legyen 0<b<c, ekkor c/b>1. Emiatt az hatványfüggvény szigorúan konvex, így a Jensen-egyenlőtlenség alapján ezt 1/c-edikre emelve kapjuk, hogy . b) Az a) rész alapján bizonyítható a b<c<0 esetre, felhasználva azt, hogy minden k-ra.

5. 3. tétel: Az , ahol k pozitív valós szám 5.3. tétel: Az , ahol k pozitív valós szám. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha mind egyenlő. Bizonyítás: 1. Alkalmazzuk a súlyozott a számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenséget az pozitív számokra, majd emeljük az egyenlőtlenséget 1/k-adik hatványra , ebből . A 2. könnyen bizonyítható az 1. és az felhasználásával.

Az függvény fontos tulajdonságai Bizonyíthatók az alábbi határértékek. -