Felszín alatti vizek védelme Vízmozgás analitikus megoldásai

Feltevések sávszerű - nyomás alatti vízadó réteg sávszerű - szabadfelszínű vízadó réteg homogén talaj egyenletes beszivárgás, ami akkor jöhet létre, ha a tv. elég mélyen van ahhoz, hogy ET tv = 0 Dupuit feltételezés: hidrosztatikus állapot vízszintes áramvonalak nincs függőleges sebességkomponens körszimmetrikus áramlás

1. Vízmérleg bal oldalon: Q 0, h 0 jobb oldalon Q L, h L Q L = Q 0 + q*L Q x = Q 0 + q*x = v x * h x 2. Sebesség Darcy – virtuális sebesség v x = K * I x I x = - dh/dx, ha q > 0 3. Lépések összevonása Q x -re Q 0 + q*x = v x * h x = - K * h x * dh/dx 4. Megoldás különböző peremfeltételekkel I. Sávszerű áramlás

1. Vízmérlegre vonatkozó információk x=0-nál: Q = Q 0 x=L-nél: Q L = Q 0 + q*L x-nél: Q x = v x * m 2. Sebesség figyelembevétele Darcy törvény alapján: v x = K * I x, ahol K a szivárgási tényező, I x pedig a piezometrikus nyomás gradiense x-nél I x = (h o - h L )/L, ha q =0 lineáris változás, nem függ x-től. I x = - dh/dx, ha q >0 A nedvesített keresztmetszet a fedett jelleg miatt konstans = m*1 I. Sávszerű áramlás – nyomás alatti

3. Lépések összevonása Q x -re Q o = m * K(h o - h L )/L, ha q = 0 Q o + q * x = -m * K * dh/dx, ha q > 0 egyszerű egyenlet Szeparálva: (Q 0 + q * x) * dx = -K * m * dh Integrálva: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * m * h + C

I. Sávszerű áramlás – nyomás alatti 4. Megoldások a peremfeltételek függvényében 4.1. Első változat:Q(x=0) = Q 0, h(x=0) = h 0 Az egyenlet: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * m * h x + C Peremfeltételeket behelyettesítve kapjuk, hogy: C = K * m * h 0, amiből: h x = h 0 – Q 0 * x/(K * m) – q * x 2 /(2K * m) Q L = - Q 0 – q * L, negatív érték

I. Sávszerű áramlás – nyomás alatti 4. Megoldások a peremfeltételek függvényében 4.2. Második változat: h(x=0) = h 0, h(x=L) =h L Az egyenlet: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * m * h x + C Peremfeltételeket behelyettesítve kapjuk, hogy: h x = h 0 – Q 0 * x/(K * m) – q * x 2 /(2K * m) h L = h 0 – Q 0 * L/(K * m) – q * L 2 /(2K * m) x = L - nél Q 0 = K * m(h 0 - h L )/L – q * L/2 Q 0 -ra kifejezve h x = h 0 - (h 0 - h L ) * x/L + q(L * x - x 2 )/(2K * m) Q 0 -t visszaírva Q L = - Q 0 – q * L, negatív érték C = K * m * h 0, amiből:

I. Sávszerű áramlás – nyomás alatti 4. Megoldások a peremfeltételek függvényében 4.3. Harmadik változat: Az egyenlet: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * m * h x + C Ebben az esetben feltételezzük, hogy x=L-nél egy vízfolyás van. A vízfolyást a víz szintjével (h fsz ) és a mederátszivárgási tényezővel (c) jellemezzük. Peremfeltételek: h(x=0) = h 0, h fsz és c adottak Q L = c * m * (h fsz - h L ), abban az esetben, ha h L > h m, ahol h m a mederfenék magassága K: sziv. hoho Q L hLhL Qx = m.v x h fsz c

I. Sávszerű áramlás – nyomás alatti 4. Megoldások a peremfeltételek függvényében 4.3. Harmadik változat: h(x=0) = h 0, hfsz és c adottak Az egyenlet: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * m * h + C Peremfeltételeket behelyettesítve kapjuk, hogy: h x = h 0 – Q 0 * x/(K * m) – q * x 2 /(2K * m) h L = h 0 – Q 0 * L/(K * m) – q * L 2 /(2K * m) x = L - nél Q 0 = K * m(h 0 - h L )/L – q * L/2 Q 0 -ra kifejezve Q L = c * m * (h fsz -h L ) = - Q 0 – q * L = - K * m(h 0 - h L )/L – q * L/2 h L = (2K * m * h 0 + q * L 2 + 2c * m * h fsz * L)/(2K * m + 2m * c * L) C = K * m * h 0, amiből: Q 0 = K * m(h 0 - h L )/L – q * L/2, ahova h L -et kell behelyettesíteni h x = h 0 – Q 0 * x/(K * m) – q * x 2 /(2K * m), Q 0 -át beírva

1. Vízmérlegre vonatkozó információk x=0-nál: Q = Q 0 x=L-nél: Q L = Q 0 + q * L x-nél: Q x = Q 0 + q * x Q x = v x * h(x) 2. Sebesség figyelembevétele Darcy törvény alapján: v x = K * I x, ahol K a szivárgási tényező, I x pedig a piezometrikus nyomás gradiense x-nél I x = - dh/dx A nedvesített keresztmetszet a szabad- felszín jelleg miatt változik. I. Sávszerű áramlás – szabadfelszínű

3. Lépések összevonása Q x -re Q o + q * x = - K * h * dh/dx Szeparálva: (Q 0 + q * x) * dx = -K * h * dh Integrálva: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * h 2 /2 + C

I. Sávszerű áramlás – szabadfelszínű 4. Megoldások a peremfeltételek függvényében 4.1. Első változat: h(x=0) = h 0, h(x=L) =h L Az egyenlet: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * h x 2 /2 + C Peremfeltételeket behelyettesítve kapjuk, hogy: C = K * h 0 2 /2, amiből: h x 2 = h 0 2 – 2 * Q 0 * x/K – q * x 2 /K Q 0 = K(h h L 2 )/(2L) – q * L/2 h L 2 = h 0 2 – 2 * Q 0 * L/K – q * L 2 /K x = L - nél Q 0 -ra rendezve h x 2 = h (h h L 2 ) * x/L + q(L * x - x 2 )/K Q 0 -at visszaírva Q L = -Q 0 – q * L, negatív érték

4. Megoldások a peremfeltételek függvényében 4.2. Második változat: Ebben az esetben feltételezzük, hogy x=L-nél egy vízfolyás van. A vízfolyást a víz szintjével (h fsz ) és a mederátszivárgási tényezővel (c) jellemezzük. Peremfeltételek: h(x=0) = h 0, h fsz és c adottak Q L = c * h fsz * (h fsz - h L ), abban az esetben, ha h L > h m, ahol h m a mederfenék magassága Az egyenlet: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * h x 2 /2 + C I. Sávszerű áramlás – szabadfelszínű

4. Megoldások a peremfeltételek függvényében 4.2. Második változat: h(x=0) = h 0, hfsz és c adottak Peremfeltételeket behelyettesítve kapjuk, hogy: h x 2 = h 0 2 – 2Q 0 * x/K – q * x 2 /K h L 2 = h Q 0 * L/K – q * L 2 /K x = L - nél Q 0 = K(h h L 2 )/(2L) – q * L/2 Q 0 -ra kifejezve Q L = c * h fsz * (h fsz -h L ) = - K(h h L 2 )/(2L) – q * L/2 h L = L/K{-c * h fsz + [c 2 * h fsz 2 + K * (K * h 0 2 /L 2 + q + 2c * h fsz 2 /L)]/2} C = K * h 0 2 /2, amiből: Q 0 = K(h h L 2 )/(2L) – q * L/2, ahova h L -et kell behelyettesíteni h x 2 = h 0 2 – 2Q 0 * x/K – q * x 2 /K, Q 0 -át beírva kapjuk Az egyenlet: Q 0 * x + q * x 2 /2 = -K * h x 2 /2 + C I. Sávszerű áramlás – szabadfelszínű

1. Vízmérleg bal oldalon: x=R-nél Q 0 jobb oldalon: Q KIV = Q 0 + q * R 2 * ∏ Q x = Q 0 + q * (R 2 -x 2 ) * ∏, tehát Q x = v x * h x * 2 * x * ∏ 2. Sebesség Darcy – virtuális sebesség v x = K * I x I x = - dh/dx, ha q > 0 3. Lépések összevonása Q x -re Q 0 + (R 2 - x 2 ) * ∏ * q = 2x * ∏ * K * h *dh/dx 4. Megoldás különböző peremfeltételekkel II. Körszimmetrikus áramlás

3. Lépések összevonása Q x -re Q 0 + (R 2 - x 2 ) * ∏ * q = 2x * ∏ * K * h *dh/dx Szeparálva: [(Q 0 / ∏ + R 2 * q)/x – x * q] * dx = 2K * h * dh Integrálva: (Q 0 / ∏ + R 2 * q) * lnx - x 2 * q/2 = K * h 2 + C II. Körszimmetrikus áramlás

4. Megoldás a peremfeltételek segítségével Peremfeltételek: h(x=R) = h R, Q(x=0) = Q kiv Az egyenlet: (Q 0 / ∏ + R 2 * q) * lnx - x 2 * q/2 = K * h 2 + C Peremfeltételeket behelyettesítve kapjuk, hogy: C = (Q 0 / ∏ + R 2 * q) * lnR - R 2 * q/2 – K * h R 2 és tudjuk, hogy Q 0 = Q kiv - R 2 * ∏ * q, ezeket beírva az eredeti egyenletbe: h x 2 = h R 2 + Q kiv * ln(x/R)/K/ ∏ +(R 2 - x 2 ) * q/K/2 II. Körszimmetrikus áramlás