Modellek besorolása …származtatás alapján: 1.Determinisztikus fizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapulfizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapul ált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható leált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható le 2.Sztochasztikus … Környezeti rendszerek modellezése (is) nagy mértékben differenciál- és integrálegyenletek megoldására alapul

Modellek besorolása …származtatás alapján: 1.Determinisztikus fizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapulfizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapul ált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható leált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható le 2.Sztochasztikus … Környezeti rendszerek modellezése (is) nagy mértékben differenciál- és integrálegyenletek megoldására alapul

Differenciál- és integrálegyenletek megoldása AnalitikuseljárásNumerikusmódszer

Elméleti függvény-analízis, táblázat, toll, papírElméleti függvény-analízis, táblázat, toll, papír Idealizált esetekre érvényes megoldásokIdealizált esetekre érvényes megoldások Előnyös – folyamatok hátterének megértéseElőnyös – folyamatok hátterének megértése –Szemléletes –Pl. szennyezőanyag-hullám ellapulása Analitikus eljárás Szennyező-hullám levonulása

Peremi, kezdeti feltételek Korlátozott alkalmazhatóság - KRM Realisztikus peremi, kezdeti feltételekRealisztikus peremi, kezdeti feltételek Analitikus eljárás t C BG t CeCeCeCexC

Korlátozott alkalmazhatóság - KRM Realisztikus peremi, kezdeti feltételekRealisztikus peremi, kezdeti feltételek Térben, időben változó paraméterekTérben, időben változó paraméterek Analitikus eljárás

Korlátozott alkalmazhatóság - KRM Realisztikus peremi, kezdeti feltételekRealisztikus peremi, kezdeti feltételek Térben, időben változó paraméterekTérben, időben változó paraméterek Nem-lineáris reakció-kinetikaNem-lineáris reakció-kinetika Analitikus eljárás Oxigén-háztartás leírása

Korlátozott alkalmazhatóság - KRM Realisztikus peremi, kezdeti feltételekRealisztikus peremi, kezdeti feltételek Térben, időben változó paraméterekTérben, időben változó paraméterek Nem-lineáris reakció-kinetikaNem-lineáris reakció-kinetika Több szegmensű rendszerekTöbb szegmensű rendszerek Analitikus eljárás

Korlátozott alkalmazhatóság - KRM Realisztikus peremi, kezdeti feltételekRealisztikus peremi, kezdeti feltételek Térben, időben változó paraméterekTérben, időben változó paraméterek Nem-lineáris reakció-kinetikaNem-lineáris reakció-kinetika Több szegmensű rendszerekTöbb szegmensű rendszerek Mérési adatok feldolgozásaMérési adatok feldolgozása Analitikus eljárás SS ~ 30 min NTU ~ 6 s

Matematikai problémák megoldását segítő technikák Amikor az analitikus megoldás nem megy, mert –Nem ismert a kérdéses függvény –Összetett problémák –Feltételek nem idealizálhatóak –Adatok bizonytalansággal terheltek Numerikus módszerek

Feladat újrafogalmazása –Absztrakt műveletek megkerülése –Aritmetikai műveletekkel ( ) megoldható forma Jelentős számítási igény Számítógép –Korábbi eszközökhöz mérten hatalmas kapacitás –Racionális számok, aritmetikai műveletek –Folytonosság, differenciálás, határérték ??? Numerikus módszerek

Mérnöki alkalmazások Egyenletek gyökeiEgyenletek gyökei Lineáris egyenletrendszerek megoldásaLineáris egyenletrendszerek megoldása Görbe illesztés (regresszió, interpoláció)Görbe illesztés (regresszió, interpoláció) IntegrálásIntegrálás Közönséges differenciál egyenletekKözönséges differenciál egyenletek Parciális differenciál egyenlet(rendszer)ekParciális differenciál egyenlet(rendszer)ek Numerikus módszerek

Diszkretizálás Tér- és időkontinuum önkényes feldarabolásaTér- és időkontinuum önkényes feldarabolása Numerikus módszerek

Approximáció - Egyenlet átírása Numerikus módszerek Differenciálás - Euler módszer CSTR – teljesen elkevert reaktor

Approximáció - Egyenlet átírása Numerikus módszerek

Folytonos közelítése diszkréttel – elvi hibaFolytonos közelítése diszkréttel – elvi hiba Véges pontosságú műveletek – technikai hibaVéges pontosságú műveletek – technikai hiba Numerikus módszerek c cicicici

Folytonos közelítése diszkréttel – elvi hiba javítása Numerikus módszerek Zuhanó tárgy sebessége Finomabb diszkretizálás Több számítás

Numerikus módszerek Elméleti analízis Integrálás nehezebbIntegrálás nehezebb Deriválás könnyebbDeriválás könnyebb Numerikus eljárások Deriválás nehezebbDeriválás nehezebb Integrálás könnyebbIntegrálás könnyebb

Numerikus módszerek