Idősor elemzés Idősor : időben ekvidisztáns elemekből álló sorozat Létrehozás : Folytonos folyamatból diszkrét mintavétel t időnként. Folytonos mintavétel t időintervallumonként átlagolva Előfordulás : Mérési eredmények Modell hiba idősora

Idősor elemzés Definíciók Stacionárius idősor Fehérzaj folyamat Az xt sztochasztikus folyamat akkor stacionárius, ha az xt ( t  [ t1; t2 ]  T ) eloszlása független a [ t1; t2 ] kiválasztásától. Fehérzaj folyamat Az xt stacionárius sztochasztikus folyamat gaussi fehérzaj, ha minden t-re standard normális eloszlású. Gelb tétele Egy előrejelző (szimulációs) modell akkor optimális, ha az előrejelzési (szimulációs) hibafolyamat gaussi fehérzaj folyamat.

Két idősor összefüggésének mértékét fejezi ki. Tapasztalati értéke : Idősor elemzés Korreláció Két idősor összefüggésének mértékét fejezi ki. Tapasztalati értéke : rxy = ryx, r  [ –1; +1 ] n az idősor hossza az xi idősor várható értékének becslése

Idősor elemzés A korreláció értékének jelentése -0.971 0.019 0.981 ha a két idősor között fordított arányosság a kapcsolat r = 0 ha a két idősor között nincs összefüggés r = 1 ha a két idősor között egyenes arányosság a kapcsolat -0.971 0.019 0.981 y fordítottan arányos x-el de tartalmaz egy normális eloszlású hiba-tagot is x és y 120 elemű független, normális eloszlású véletlen sorozat y egyenesen arányos x-el de tartalmaz egy normális eloszlású hiba-tagot is

Idősor elemzés Lineáris regresszió A regressziós egyenes egyenlete : Az illesztetés megbízhatóságát az r2 feltüntetésével szokás jelölni. A 0.1 alatti r2 soha nem tekinthető szignifikáns összefüggésnek. r2=0.0051 Emelkedő trend? Független, standard normális eloszlású véltelen számsorozatra illesztett regresszió.

Idősor elemzés Autokorreláció Egy idősor jelenlegi és későbbi értékei közötti kapcsolat mértékét fejezi ki. A k lépéses autokorreláció az idősor és a k lépéssel eltolt idősor közötti korreláció. A k lépéses autokorreláció elméleti értéke :

Autokorreláció mátrix és becslése Idősor elemzés Autokorreláció mátrix és becslése Pn= A Pn autokorreláció mátrix szimmetrikus, mivel rxy = ryx. Az egyes ρi tényezők közelítő ri értékeit az idősor elemei alapján számíthatjuk ki: az idősor hossza az idősor várható értékének becslése

Autokorreláció függvény ( acf ) Idősor elemzés Autokorreláció függvény ( acf ) Egy idősor autokorreláció függvénye a  = 0 .. n értékekhez tartozó r autokorreláció tényezőkből áll. r0 = 1.0 r6 = ? u1 u1 t t  = 0  = 6 u2 u2 t t

Tipikus autokorreláció függvények Idősor elemzés Tipikus autokorreláció függvények -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Véletlenszerű (normális eloszlású független sorozat) -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Autokorrelált (véletlen sorozat mozgóátlaga) -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Periodikus (szinusz függvény, zajmentes)

Anderson-féle konfidencia intervallum Idősor elemzés Anderson-féle konfidencia intervallum r 1.0 0.5 0.0  -0.5 -1.0 Anderson-féle konfidencia intervallum τ = 1, 2, … τ Ezen belül 0-nak lehet tekinteni rt-t

Fehér zaj autokorreláció függvénye Idősor elemzés Fehér zaj autokorreláció függvénye Egy xt gaussi fehérzaj folyamat autokorreláció függvénye a Dirac-féle egységugrás függvény. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 if(t==0) r[t]=1; else r[t]=0; -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Egy valós fehérzaj folyamat autokorreláció függvénye csak a 0 helyen lép ki az Anderson-féle konfidencia intervallumból.

Idősor elemzés AR, MA és ARMA modellek AR ( p ) : MA ( q ) : Stacionárius folyamat (kritériumok: állandó átlag és szórás) leírására szolgálnak. Az idősor zt aktuális eleme az előző elemek (AR) illetve az a normális eloszlású véletlen sorozat előző tagjainak (MA) lineáris kombinációjaként számítható ki. AR ( p ) : MA ( q ) : ARMA ( p, q ) : Az AR(0) modellt fehér zaj modellnek is nevezik :

Részleges autokorreláció függvény ( pacf ) Idősor elemzés Részleges autokorreláció függvény ( pacf ) A részleges autokorreláció függvény az autokorreláció függvényből számítható ki. Az AR együtthatókat határozza meg, így a szignifikáns értékei alapján becsülhető az illesztendő modell AR tagjainak száma. Kiszámítás : a Yule-Walker egyenletek megoldásával : Ahol Pk az autokorreláció mátrix, φk a részleges autokorreláció vektor, ρk pedig az autokorreláció fv vektora.

pacf tapasztalati értékei és az AR modell paraméterek becslése Idősor elemzés pacf tapasztalati értékei és az AR modell paraméterek becslése A pacf a kk értékeket tartalmazza. A kj ( j < k ) értékek az idősorra illesztett AR( k ) modell j = 1..k együtthatóinak becslései. Az eljárás rekurziós : például a menetrend a következő lehet 11, 22, 21, 33, 32, 31 … Egy adott szinten először mindig a pacf együtthatóval kezdünk, majd ezután számítjuk ki a többi értéket. Az idősorra célszerűen olyan AR tagszámú modell illesztendő, amelynél a pacf értéke még szignifikánsan különbözik 0-tól.

Idősor elemzés pacf tapasztalati értékei és hibájuk Autokorrelált sorozat A pacf a 10. tagig különböztethető meg 0-tól, így a javasolt modell : AR ( 9 ) Fehér zaj sorozat Csak az 1-hez tartozó érték jelentős, ezért a javasolt modell : AR ( 0 ) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 A pacf közelítő konfidencia sávja

MA modell paraméterek becslése Idősor elemzés MA modell paraméterek becslése Nincs egyszerű megoldás, mint az AR paramétereknél. MA modell akkor alkalmazandó, ha az acf korlátos. Speciális esetek : MA ( 1 ) és MA ( 2 ) és

A acf és pacf elemei a modell paraméterek segítségével kifejezve : Idősor elemzés ARMA ( 1, 1 ) modell A acf és pacf elemei a modell paraméterek segítségével kifejezve : acf pacf Ezek felhasználásával a tapasztalati autokorreláció fv ismeretében becsülhetjük a modell paramétereinek értékét.

ARMA modell alkalmazása Idősor elemzés ARMA modell alkalmazása Stacionárius idősor 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 acf pacf -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Javasolt modell : AR(2)

Idősor elemzés ARMA modell alkalmazása Az eredeti adatsor és az egy lépésre tett előrejelzések 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 Idősor Előrejelzés