2006. március 3.

Három négyzet oldalai különböző prím- számok. A két kisebb négyzet kerületének ösz- szege egyenlő a legnagyobb négyzet kerületé- vel; a két nagyobb területének összege 290 cm 2. Mekkorák a négyzetek oldalai? Telefonos feladat

Emelt szintű írásbeli érettségi Matematika – (1.) február 21.

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet: 1. feladat (12 pont)

2. feladat Az számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorrendben. a) Az számmal együtt hány ötjegyű számot kaptunk? (2 pont) b) Ezen számok közül hány osztható 12-vel? (6 pont) c) Bizonyítsa be, hogy e számok egyike sem négyzetszám! (4 pont)

a) b) mal mindegyik osztható c) 3-mal osztható, de 9-cel nem, így nem lehet négyzetszám.

3. feladat Egy automatából 100 Ft értékű ital kapható, s az automatába csak 100 Ft-os érme dobható be. Az automata gyakran hibásan működik. 160 kísérletet végezve azt tapaszaljuk, hogy - az esetek 18,75%-ában az automata elnyeli a pénzt, és nem ad italt; - 90 esetben visszaadja a 100 forintost, anélkül, hogy italt adna; - 30 esetben italt is ad és a 100 Ft-ost is visszaadja; - és csak a fennmaradó esetekben működik rendel- tetésszerűen

a) Mekkora annak az esélye, hogy egy százast bedobva az automata rendeltetésszerűen fog működni? (4 pont) b) Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy ingyen ihatunk, vagy annak, hogy ráfizetünk? (5 pont) c) Várhatóan mennyi lesz a ráfizetése annak, aki 160-szor próbál italt vásárolni ennél az automatánál? (4 pont)

a) b)Mindkét valószínűség: c)Nem lesz vesztesége

4. feladat Állítsuk a pozitív egész számokat növekvő sorrendbe, majd bontsuk rendre 1-gyel növekvő elemszámú csoportokra, a felbontást az alábbi módon kezdve: (1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10) a) A 100-adik csoportban melyik szám az első elem? (5 pont) b) Az 1851 hányadik csoport hányadik eleme? (9 pont)

a) A k-adik csoportban levő utolsó elem: A 99. csoport utolsó eleme: Tehát a 100. csoport első eleme: (1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10)

b) Ha 1851 a k-adik csoportban van, akkor

A 61. sor első eleme: a 60. sor utolsó eleme a 61. sor 21. eleme.

5. feladat (16 pont) Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, AB>CD. A trapéz átlóinak metszéspontja K. Az ABK háromszög AB oldalhoz tartozó ma-gassága kétszerese a CDK háromszög CD oldalá- hoz tartozó magas- ságának. Jelölje T az ADK háromszög terü- letét. Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?

A telefonos feladat megoldása A feltételekből Az első feltételből csaklehetséges. A másodikból pedig