16. Modul Egybevágóságok

A tengelyes tükrözés Tengelyes tükrözéskor megadjuk a t egyenest (tengelyt), amire tükrözni akarunk. t pontjainak képe önmaga. A t egyenesre nem illeszkedő P pontnak a képe az a P’ pont, amelyre igaz, hogy a tengely (t egyenes) merőlegesen felezi a PP’ szakaszt.

A tengelyes tükrözés A sík minden pontjának van képe. Alakzatokat (görbéket, síkidomokat) pontonként tükrözünk (mint ponthalmazokat). Egy pontnak egy képe van. Emlékeztető: adott A és B halmaz. Egy hozzárendelés függvény, ha A halmaz minden eleméhez rendel a B halmazból minden elemhez pontosan egy elemet rendel

Transzformációk tulajdonságai ◦ távolságtartó: szakasz és képe ugyanolyan hosszúságú; ◦ szögtartó: szög és képe ugyanolyan nagyságú; ◦ egyenestartó: egyenes képe egyenes; ◦ párhuzamosságtartó: párhuzamos egyenespár képe párhuzamos egyenespár; ◦ illeszkedéstartó: ha egy pont illeszkedik egy egyenesre, akkor a pont képe illeszkedni fog az egyenes képére; ◦ körüljárási irányt megtartó vagy körüljárási irányt megváltoztató: egy alakzatnak és képének körüljárási iránya azonos vagy ellentétes.

Hozzárendelések Ez függvény ? NEM ! >> A B a 1 b c 2 d e 3 f g 4

Hozzárendelések Függvény ??? A B a 1 b c 2 d e 3 f g 4 >> Minden elemhez pont egy elemet rendel A B (a; 1) a 1 (g; 1) b c Értékkészlet (képhalmaz) 2 (g; 2) d e 3 (g; 3) f g 4 (g; 4) Értelmezési tartomány

Geometriai transzformáció Tengelyes tükrözéskor meg kell adnunk a tengelyt és a tükrözés szabályát. A sík minden pontjának van pontosan egy képe. Ez azt jelenti, hogy a tengelyes tükrözés függvény: ponthoz pontot rendel. Geometriai transzformációnak nevezzük a ponthoz pontot rendelő függvényeket. Geometriai transzformációk Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Eltolás Pont körüli forgatás Definíciók Tulajdonságok Egyebek

Feladat a) melyek fix pontok, és t egyenes a tengelyes tükrözés tengelye. Válaszd ki, hogy … a) melyek fix pontok, és b) melyek invariáns egyenesek az ábrán levők közül. Indokold a választásodat!

A geometriai transzformációk rendszerezése Egybevágósági transzformációnak nevezzük a távolságtartó geometriai transzformációkat. Tengelyes tükrözés Adott egy t egyenes, a tengely, melynek minden pontjához önmagát rendeljük. A t egyenesre nem illeszkedő P ponthoz azt a P’ pontot rendeljük, amelyre igaz, hogy a tengely merőlegesen felezi a PP’ szakaszt. Tulajdonságai: a tengelyes tükrözés távolságtartó (ezért egybevágóság), szögtartó, a körüljárási irányt megfordítja, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó. A tengely pontjai fixpontok, a tengely fix egyenes. A tengelyre merőleges egyenesek invariáns egyenesek.

A geometriai transzformációk rendszerezése Középpontos tükrözés Adott egy O pont, a középpont, melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és az O felezi a PP’ szakaszt. Tulajdonságai: a középpontos tükrözés távolságtartó (ezért egybevágóság), szögtartó, a körüljárási irányt megtartja, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó. A középpont fixpont. A középponton áthaladó egyenesek invariáns egyenesek. A középponton át nem haladó egyenes és képe párhuzamos egymással. C B’ A A’ O B C’

A geometriai transzformációk rendszerezése Eltolás Adott egy irányított szakasz (v). A sík egy adott P pontjának képe az a P’ pont, amelyre igaz, hogy a PP’ irányított szakasz egyenlő a megadott v vektorral. Tulajdonságai: távolságtartó (ezért egybevágóság), szögtartó, a körüljárási irányt megtartja, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó. Fixpontja nincs, csak ha az eltolás vektora nullvektor (ekkor a sík minden pontja fixpont). Az eltolás vektorával párhuzamos egyenesek invariáns egyenesek. Bármely egyenes és képe párhuzamos egymással. C’ C A’ A B’ B

A geometriai transzformációk rendszerezése Forgatás Adott a síkon egy irányított  szög és egy O pont (középpont), melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre az OP távolság egyenlő az OP’ távolsággal, és a POP’ szög egyenlő  szöggel. Tulajdonságai: távolságtartó (ezért egybevágóság), szögtartó, a körüljárási irányt megtartja, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedéstartó. A középpont fixpont. Fix és invariáns egyenesek csak speciális szögek esetén (180° többszöröseinél invariáns egyenesek az O-t tartalmazó egyenesek; 360° többszörösei esetén a sík minden pontja fixpont) vannak. A’ C C’ A B’ B O

Vektor: irányított szakasz. Vektorok Vektor: irányított szakasz. Vektorjellemzők: Vektor abszolútértéke: a vektor hossza. Ha két vektor párhuzamos, akkor megegyező állásúnak mondjuk őket. Ezek az egyállású vektorok lehetnek azonos vagy ellentett irányúak, irányításúak.

Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. Vektorok Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontja és a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Jelölése: – a .

Szimmetrikus alakzatok - a tengelyesen szimmetrikus alakzatoknak van szimmetria tengelyük (vagyis létezik olyan egyenes, amelyre tükrözve az alakzatot a képe megegyezik az eredeti alakzattal); - a középpontosan szimmetrikus alakzatoknak van szimmetria középpontjuk; - a forgásszimmetrikus alakzatokhoz található középpont és szög, amelyek által meghatározott forgatás az alakzatot önmagába viszi. Mintapélda1 Milyen szimmetriákat találunk a szabályos hatszög esetében? Megoldás: Tengelyesen szimmetrikus az átlókra és szemközti oldalak felezőpontjait összekötő egyenesekre. Középpontosan szimmetrikus G pontra. Forgásszimmetrikus: G pont a középpont, a szög pedig 60° egész számú többszöröse, bármelyik irányban.

Feladatok 18. Milyen szimmetriákat találsz a következő ábrákon? A B C 20. Milyen szimmetriákat találsz a következő síkidomokban: a) szabályos háromszög; b) szabályos ötszög.

Feladatok 21. Írd a következő ábrák betűjelét a halmazábra megfelelő helyére!

Feladatok 22. Másold át a füzetedbe az ábrát és egészítsd ki úgy, hogy a) tengelyesen szimmetrikus; b) forgásszimmetrikus; c) középpontosan szimmetrikus legyen! Keress több megoldást is! 23. Válaszd ki azt a síkidomot, amelyik nem illik a sorba! Indokold is az állításodat! egyenlőszárú derékszögű háromszög húrtrapéz paralelogramma rombusz szabályos háromszög

A középponti szög egyenesen arányos Ívmérték, radián Többféle szögmértékegység A középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával. A szögeket körívvel is jellemezhetjük. Ha egy r sugarú körben az ív hossza r hosszúságú, akkor az ívhez tartozó középponti szöget 1 radiánnak nevezzük. r sugarú körben az ívmértékű középponti szöghöz tartozó ívhossz:

Ívmérték, radián 180° =  (rad) 3 = 3 · 180° = 540° 360° = 2 (rad) 90° = 60° = 1°-nak megfelel radián, illetve 1 radiánnak felel meg. rad

Ívmérték, radián Mintapélda2 Határozzuk meg az ábrákon látható szögek nagyságát fokban és radiánban! Megoldás: 30°; 270°; 120°; 135°; 330°; Mintapélda3 Váltsuk át a 102°-os szöget ívmértékbe! Megoldás: 1°-nak radián felel meg, 102°-nak ennek 102-szerese: rad

Egybevágó síkidomok Két síkidomot egybevágónak nevezünk, ha véges sok egybevágósági transzformáció egymást követő alkalmazásával egymásba vihetők. Az egybevágó alakzatok nem minden esetben fedik egymást, mert tengelyes tükrözés esetén a körüljárási irány megfordul. Azonban ha papírból kivágjuk az egybevágó alakzatokat, azok fedésbe hozhatók egymással.

Egybevágó síkidomok Mintapélda4 Keressük meg azokat az egybevágósági transzformációkat, amelyek egymásutánjával az ABC háromszög átvihető az A’B’C’ háromszögbe! Megoldás: többféle lehetőség

Egybevágó síkidomok Mintapélda5 Két deltoid megfelelő oldalai páronként egyenlők. Igaz-e, hogy a két deltoid egybevágó? Megoldás: Nem biztos. A deltoid lehet konvex vagy konkáv, ugyanakkora oldalakkal.

Egybevágó síkidomok Mintapélda6 Szerkesszünk háromszöget, ha oldalai 4,1 cm, 3,2 cm és 2,7 cm. Vizsgáljuk meg, hány megoldás van és ezek egybevágók-e? Megoldás: A kapott háromszögek egybevágók, mert fedéssel egymásba vihetők. Azt mondjuk, hogy egyértelműen megszerkeszthető a háromszög a három oldalból.

Háromszögek egybevágósága A háromszögek egybevágóságának alapesetei: két háromszög egybevágó, ha… 1. oldalaik páronként egyenlők (a=a’, b=b’, c=c’ ); 2. két oldaluk és az általuk közbezárt szög páronként egyenlő (a=a’, b=b’,  = ’ ); 3. két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög páronként egyenlő (a=a’, b=b’,  = ’ ); 4. egy oldaluk és a rajtuk fekvő két szög páronként egyenlő (a=a’,  = ’,  = ’ ).