2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Az E. tér projektív lezárása 2.4. Affin transzformációk 2.5. Projektív transzformációk 1

Mire jó nekünk az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek Átalakítások: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk API 2009.08 2

2.1. Koordináta-rendszereink A Descartes-féle derékszögű koordináták Polár-koordináták Gömbkoordináták, henger-koordináták Baricentrikus koordináták Homogén koordináták

Valószerű ábrázolás A valóság részletei – a képen is A fényképezőgép egyidejűleg végtelen sok pontot Számítógép sorban, egyenként kiválasztott pontokat A képen a párhuzamosok látszólag egy pontba A valóságban nincs ennek megfelelő pont

Például: egy sínpár perspektívája X = [ 1, 0, 0, 0 ]; X’ = X X és Y tengely Y = [ 0, 1, 0, 0 ]; Y’ = Y Z = [ 0, 0, 1, 0 ] ; Z’ = [ 0, 0, 1, 1 ] Z tengely C = [ 0, 1, 0, 1 ]; C’ = [ 0, 0, 1, 0 ] a kamera F = [ 1, 2, 1, 1 ]; F’ = [ -1, 1, 0, 1] képkeret sarka

Az E 2 egy „inhomogenitása” Az a egyenes pontjait K-ból vetítjük az x egyenesre. F’ =?; E 2 - ben nincs! ; néha kellene Legyen !! Az E 2 kibővítése: - minden egyenesen van még egy pont, - neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt, távolpont) - párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása, - egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.

Az euklideszi tér „projektív lezárása” Az euklideszi tér (ponthalmaz) kibővítése ideális pontokkal (halmazával) E3 U I3  H3 ; „homogén terünk” Az euklideszi tér „projektív lezárása” ( H3 és „homogén terünk” : KG )

Homogén koordináták Az E 2 egy „inhomogenitása” Az euklideszi tér kibővítése Homogén koordináták Homogén  Descartes koordináták Descartes  Homogén koordináták „Homogén terünk” szerkezete A sík homogén koordinátás egyenlete Miért használunk homogén koordinátákat?

A kibővített euklideszi sík Az E 2 projektív lezárása (a „kibővített sík”); (projektív sík egy kitüntetett egyenessel.) „a homogén sík”: H 2 = E 2  I 2 [„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG] A projektív síkban: bármely két pont meghatároz egy egyenest bármely két egyenes meghatároz egy pontot …

A kibővített euklideszi tér Az E 3 projektív lezárása (a „kibővített tér”); „a homogén tér”: H 3 = E 3  I 3. („homogén tér”, „ H 3 ” csak KG) H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal A projektív térben: bármely 2 síknak van közös egyenese . . .

A kibővített euklideszi tér Egyenes: „közönséges pontjai” + 1 ideális pont egy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: , úgy, hogy: párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik; egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak; ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”) párhuzamos síkok ideális egyenese (állása) megegyezik, a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”

Homogén koordináták (1) A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ében O : közönséges pont; belőle X, Y, Z tengelyek, és E pont P = (x, y, z)  „homogén koordináták” : P = (x, y, z)  [x, y, z, 1]  h  [x, y, z, 1] = [ h  x, h  y, h  z, h ]; h0 Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!) Figyelem: [ x, y, z, w ]  h  [ -x, -y, -z, -w ] !!

Homogén koordináták (2) A v = (x, y, z) vektorral egyező állású egyenesek ideális pontja: Iv = [ x, y, z, 0 ]; az ideális pont „homogén alakja”, illetve: Iv = [ x, y, z, 0 ]  h  [ x, y, z, 0 ] =  [ hx, hy, hz, 0 ]; h0

Áttérés a homogén alakra és vissza Egy feladat leírása (adatai): DKR-ben: Számítások DKR-ben indulnak, de ha kell („kényes” műveletek előtt): áttérés homogén alakra: (x, y, z)  [x, y, z, 1] a „kényes” műveletek homogén alakban; utána az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása) visszatérés DKR-be (projektív osztás): [x1, x2, x3, x4]  (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4). Az eredmények értékelése DKR-ben.

A projektív osztás; vissza a DKR-be H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának  : ha x4 0, akkor közönséges pont, és : [x1, x2, x3, x4]  [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1]  (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4), ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: akkor ideális pont, és ~ az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása !!! [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).

„Ideális pontok” E 3 = { (x, y, z) }  { [x, y, z, 1] }; x, y, z  R I 3 = { [x, y, z, 0] }; x, y, z  R H 3 = E 3 U I 3 ; a „kibővített tér”, a „homogén tér” Az euklideszi tér kibővítése: minden egyenesnek van még egy pontja: amely egyenes állását jellemzi párhuzamosok ideális pontja megegyezik egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén a tér ideális pontjai: az ideális síkban

Egyenesek közös pontja

„Homogén terünk” szerkezete (olv) A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z  R } Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai: Ax,y,z,w = { h ·[ x, y, z, w ]; x,y,z,w,h  R , h ≠ 0, }; A homogén tér: H 3 = Ax,y,z,w \ A 0,0,0,0 // A 0,0,0,0 = { [0,0,0,0] } 20

Miért használunk homogén koordinátákat? A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik. A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!) transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata A középpontos vetítés számolható a pontok homogén koordinátáival és 4x4-es mátrixokkal

Az egyenes és a sík homogén-koordinátás egyenlete

Megjegyzés: homogén = egynemű Az egyenes homogén egyenlete: ax + by + c = 0 Pontok homogén koordinátái: [x, y, z, w]

Az egyenes homogén, implicit egyenlete (E 2) Az egyenes X = (x, y)  [ x,y,1] pontjára (E 2): a · x + b · y + c = 0; a2 + b2  0; a · x + b · y + c · 1 = 0; Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és „homogén”: (a,b,c)  (a,b,c) · h; h  0

Az egyenes homogén koordinátás, homogén implicit egyenlete (H 2) Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja a síkban (h≠0): P = [ x, y, w ] T x,y,w nem mind 0 Egy e egyenes homogén(-koordinátás) alakja: e = [e1, e2, e3]  h·[e1, e2, e3]; (h ≠ 0), ei nem mind 0 Az e egyenes egyenlete: az e minden X  H2 pontjára: e · X = 0, azaz: e1·x + e2·y + e3·w = 0

A sík paraméteres egyenlete (E 3) H 3 Adott: P = (px, py, pz ), Q = (qx, qy, qz ), R = (rx, ry, rz ) X = Q + s · (P - Q) + t· (R - Q) ; s, v  R = (1-s-t) · Q + s · P + t · R - a PQR sík minden pontjához található így s,t  R, és - minden s,t  R -hez tartozik egy X a PQR síkban

A sík implicit, homogén egyenlete (E 3) A sík X = (x, y,z)  [x, y,z,1] pontjára: a · x + b · y + c · z + d = 0; a2 + b2 + c2  0; a · x + b · y + c · z + d · 1 = 0; „homogén”: (a,b,c,d)  (a,b,c,d) · h; h  0

A sík homogén koordinátás homogén, implicit egyenlete Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0): P = [ x, y, z, w ] T x,y,z,w nem mind 0 Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h ≠ 0): s = [s1, s2, s3, s4]  h·[s1, s2, s3, s4]; si nem mind 0 Az s sík egyenlete: az s minden X  H3 pontjára: s · X = 0, azaz: s1·x + s2·y + s3·z + s4·w = 0

Lássunk a koordináták mögé – t.i. z = 0; mi ez? Egyenlőség, egyenlet, kié-mié? 0  x + 0  y + 1  z + 0 = 0 sík: z = 0 és akármilyen x, y; az XY sík x + y = 0 mi az? HF !

Nevezetes pontok és síkok homogén alakja -olv Bármilyen c  0 számmal [0, 0, 0, c] T az origó, [c, 0, 0, 0] T az X tengely ideális pontja, [0, c, 0, 0] T az Y tengely ideális pontja, [0, 0, c, 0] T a Z tengely ideális pontja, [0, 0, 0, c] az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0]) [c, 0, 0, 0] az YZ (x = 0) koordináta-sík; pontjai: [0, y, z, h] [0, c, 0, 0] az XZ (y = 0) sík, [0, 0, c, 0] az XY (z = 0) sík homogén alakja.