3.4. Perspektív ábrázolások

Emlékeztető Kollineáció: H3  H3 pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó Kollineációk – projektív transzformációk kollineációk  { M44; det M44  0 } Homogén koordináták: P = [x,y,z,w]T ~ l  [x,y,z,w]T; l  0 Kollineációk: M44 (mik)  m  M44 ; m  0 az egyik mik ( amelyik biztos  0 ) „szabadon választható”

Ami a módszerekben közös Kiindulás: TKR a tárgy egy jellemző pontja és fő irányai Előtte: VKR  TKR: P’ = (T  B)  P mozgás; méret- és alaktartó A vetület előállítása: 3 lépésben: P’ = M  P; 3D  3D láthatóság-takarás z’ szerint z’ elhagyása: 3D  2D, a képsíkra

Projektív transzformáció mátrixának előállítása A határozatlan együtthatók módszere 5-5 független pont; pl a TKR „ölében ülő” téglatest (1) O (2,3,4) Ix, Iy, Iz : a tengelyek ideális pontja (5) E = (a, b, c); illetve: (A, B, C) !!!

Perspektív ábrázolások „Perspektíva” = távlati kép Elsősorban nagyobb terek ábrázolására Tapasztalat: Horizont: sík területen a látóhatár a párhuzamosok látszólagos összetartása, a méretek látszólagos rövidülése Projektív transzformáció Egy-, két-, három iránypontos perspektíva, . . .

A két iránypontos perspektíva

A két iránypontos perspektíva O  O’ a képsík fölött w = rw-vel Ix , Iy  I’x , I’y iránypontok a horizonton Iz  I’z = Iv a képsíkkal || fölfelé E  E’ helyett három tengelypont: A’, B’, C’

A kijelölt pontok és képük: Ix =[1,0,0,0], I’x = [i1, h, 0,1] = I1 Iy =[0,1,0,0], I’y = [i2, h, 0,1] = I2 Iz =[0,0,1,0], I’z = [ 0, 1, 0,0] O =[0,0,0,1], O’ = [ou,ov,ow,1] A =[a,0,0,1], A’ = [au,av,aw,1] \ B =[0,b,0,1], B’ = [bu,bv,bw,1] | = E C =[0,0,c,1], C’ = [ou,cv,ow,1] / (E =[a,b,c,1], E’ = [a’,b’,c’,1]) h, i1, i2, ou, ov, ow, a’, b’, c’ : a képsíkon fölvett adatok A  A’ csak egy független adat: a’, illetve ta = O’A’ / O’I’x

A két iránypontos perspektíva mátrixa: P’= M2·P ; M2= ( sa i1 / a sb i2 / b 0 ou ); | sah / a sb h / b c’/c ov | | 0 0 0 ow | ( sa / a sb / b 0 1 ) h : a horizont magassága, i1 , i2 : az iránypontok helye a, b, c: a TKR téglatest oldala ou, ov : O’ a képsíkon ow > 0, tetszőleges, sa = O’A’/A’I1 ; sb = O’B’/B’I2 c’ : a c képének hossza,

A mátrix vizsgálata M2 = [ T(ru,rv,rw)S ]  Nxy  [ S’Ry Rx(900) ]  K(sa/a, sb/b, 0) = [ Hasonlóság]  Nyírás  [Mozgatás]  [K(projektív)] K(sa/a, sb/b, 0) = ( 1 0 0 0 ) | 0 1 0 0 | | 0 0 1 0 | ( sa/a sb/b 0 1 )

Enyészpont geometriai ábrázolása

elemzés

Gyakorlati tanácsok Középen lévő horizont: kiegyensúlyozott kép Tárgyak a horizont alatt: fölül nézet a horizont fölött: alul nézet Iránypontok távol: valószerűbb kép (számolás) Távolodó iránypontok – távolodó tárgyak (Interaktív program: a paraméterek változtatása)

Az egy iránypontos perspektíva

Leonardo: Az utolsó vacsora

Az egy iránypontos perspektíva O’ a képsík fölött w = ow-vel I’y = I iránypont a horizonton I’x = Iu jobbra, és I’z = Iv; fölfelé E pont helyett három tengelypont: A’, B’, C’

A kijelölt pontok: O = [0, 0, 0, 1], O' = [ou, ov, ow, 1] Ix = [1, 0, 0, 0], Ix’ = [1, 0, 0, 0] = Iu Iy = [0, 1, 0, 0], Iy’ = [i, h, 0, 1] = I Iz = [0, 0, 1, 0], Iz’ = [0, 1, 0, 0] = Iv A = [a, 0, 0, 1], A' = [au, rv, rw, 1]; B = [0, b, 0,1], B' = [ou, bv, ow, 1] C = [0, 0, c, 1], C' = [cu, cv, cw, 1] E = [a, b, c, 1], E’ = [eu, ev, ew, 1] h, i, ou, ov, ow, a’,b’,c’ : a képsíkon fölvett adatok B  B’ csak egy független adat: tb = O’B’ / O’I

Az egy iránypontos perspektíva mátrixa: M1= (a’/a i·s/b 0 ou) ( 0 h·s/b c’/c ov) ( 0 0 0 ow) ( 0 s/b 0 1 ) = [T(ou, ov, ow)]  Nxy  [S  Rx(900) ] K(0, sb/b, 0), a,b,c : TKR téglatest oldalai, a’, c’ : a, c képe, ou,ov O’ a képsíkon és ow > 0, tetszőleges, h a horizont magassága, i az iránypont helye rajta. s = O’B’ / B’I

Albrecht Dürer: Szent Jeromos a dolgozószobájában (1514)

The Last Supper (1495-1498)-golden section.jpg

Három iránypontos perspektíva (olv)

A három iránypontos perspektíva mátrixa:   M3= ( fusa/a gusb/b husc/c ou ) ( fvsa/a gvsb/b hvsc/c ov ) ( 0 0 0 ow ) ( sa/a sb/b sc/c 1 ) a, b, c TKR-ben adott téglatest oldalai, a’ és c’ a és c képe (ou,ov) az O’ a képsíkon, ow tetszőleges, (fu,fv), (gu,gv) és (hu,hv) az X,Y,Z tengelyek ideális pontjának képe a képsíkon sa= O’A’/A’F, sb=O’B’/B’G, sc=O’C’/C’H