2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Az E. tér projektív lezárása 2.4. Affin transzformációk 2.5. Projektív transzformációk 1

Amit tudni illik . . . Összefoglaló:  G19-Matematikai-alapfogalmak-ti.html

Mire jó nekünk az analitikus geometria? Geometriai modell (GM): tárolás, építés pontok, vonalak, felületek – testek Elemzés, átalakítás: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk API 3

2.1. Koordináta-rendszereink A Descartes-féle derékszögű koordináták Polár-koordináták Gömbkoordináták, henger-koordináták Baricentrikus koordináták ( Homogén koordináták)

a Descartes-féle (ferdeszögű) KR Egy KR-t meghatároz: - egy pont (origó, kezdőpont) - a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek), amelyek kifeszítik a teret (a síkot), - és a tengelyeken kijelölt egység Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával: P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z) ! ! ! a pont vetülete a tengelyekre a másik két tengely síkjával párhuzamosan

DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR) Kijelöli 5 „pont”: O, X, Y, Z, E Pontok: P = (x, y, z)T = (x) |y| (z) kétféle irányítás: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), + Z felől nézve: X  Y: CCLW balsodrású (balos, balkezes)

A síkban: Kijelöli 4 „pont”: O, X, Y, E Pontok: P = (x, y)T = (x) (y) kétféle irányítása: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), X tengely  Y tengely: CCLW balsodrású (balos, balkezes)

A képernyő kr.: balsodrású !

A képernyő kr + mélység: jobbos

Síkbeli polárkoordináták (ti) P = ( r,  ); ( 0 r ), ( 0 < 2) O: kezdőpont, x: polár-tengely,  : a pozitív elfordulás iránya.

Síkbeli polárkoordináták (ti) PK  DK : x = r  cos , y = r  sin  DK  PK : r = x2+y2 és  = arctan( y / x ), ha x  0 és x  0 = 0, ha y = 0 és x > 0 = , ha y = 0 és x < 0 =  /2, ha x = 0 és y > 0, ill. y < 0 = meghatározatlan, ha x = y =0 (a kezdőpont).

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti) Alapsík (XY), benne PKR: O, r,  és a Z tengely, gömbkoordináták: P = (r, , ); r: 0 r : polárszög; <2 az alapsíkban) azimut; 0  vagy -/2 /2

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti) henger-koordináták: ( r, ,  ) GK  DK : x =  cos  = r  sin   cos ; y =  sin  = r  sin   sin , z = r  cos    = r  sin = x2+y2, (az alapsíkban) DK  GK : . . .

Pontrendszer súlypontja (olv) p1,m1 p2,m2 p3,m3 M Pi tömegpontok; i = 1,2,…,n; Pi pont, pi , helyvektor, mi tömeg A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege; M = (  mi · pi ) /  mi M =  (i · pi ); i = mi /  mi ; 0 < i < 1;  i = 1 Más mi súlyokhoz, más súlypont A i súlyok arányosan változtathatók ! 15

Baricentrikus koordináták (1) a0, a1,…,an  E n ; n+1 pont kifeszíti az n dimenziós teret E n –ben minden X ponthoz egyértelműen: {0, 1,…, n} valósak: X = 0a0 + 1a1 +…+ nan;  i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. {i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái 16

Baricentrikus koordináták (2) X = 0a0 +1a1 +…+ nan;  i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. Például: egy egyenesen (n=1): X = 0a0 +1a1 {i} homogén jellegű koordináták: { 'i }  { h  i } ; h  0 ugyanaz a pont Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak, P az alappontok konvex burkán belül van. 17

Koordináta-rendszereink Descartes-féle derékszögű koordináták Polár-koordináták Gömbkoordináták, henger-koordináták Baricentrikus koordináták ( Homogén koordináták - később)