3.3. Axonometrikus ábrázolások Rövid áttekintés

Párhuzamos vetítések, axonometriák Kevésbé valószerű – de közeli, kis tárgyaknál . . . Affin transzformációval A képsíkra merőlegesen, vagy ferde szög alatt 4 „független” pont és képe meghatározza

Emlékeztető Műszaki rajzoknál: egyezményes ábrázolási módok: - könnyen szerkeszthető - a szakemberek által megszokott, - könnyen értelmezhető - méretek és arányok jól „leolvashatók” Műszaki rajzolónak szerkesztési szabályok - a számítógéphez számítási eljárások

Ami a módszerekben közös Kiindulás: TKR; a tárgy egy jellemző pontja és fő irányai Előtte: VKR  TKR: P’ = (T  B)  P mozgás; méret- és alaktartó A vetület előállítása: P’ = M  P; 3D  3D, ; olyan M, amely… láthatóság-takarás z’ szerint z’ elhagyása: 3D  2D; VKR-2D  KKR, a képmezőbe Párhuzamos vetítésnél M affin, középpontosnál projektív

Gyakrabban használt módszerek

Merőleges vetítés koordináta-síkokra „Számítások”: a harmadik koordináta elhagyása Legtöbbször csak 2-3 nézet A F H E J B 6

Kiegészítő nézet ferde síkra A test jellemző síkjával párhuzamos síkra Forgatással visszavezethető a merőleges vetítésre A nézetek szabványos egyesítése

Axonometriák Frontális axonometria Izometria Dimetria Trimetria (olv) Affin mátrixal, a mátrix: 4-4 független ponttal

Affin transzformációk mátrixának előállítása 4 „független” pont és képe Gyakran: a TKR „ölében ülő” téglatest O = (0,0,0) A = (a,0,0), B = (0,b,0), C = (0,0,c)

Frontális axonometria (Kavalier perspektíva) Párhuzamos vetítés, ferde szögben Rajzolási szabályok: - az UV képsík | | a TKR XZ „homloksíkjával” - X’ = U , Z’ = V; 1 : 1 méretek - Y’: 45 fokban hátrafelé; 1 : 2 méretek P’ = M · P ; M = ? M = ( 1 t 0 0); t = 2/4 |0 t 1 0| |0 -1 0 0| (0 0 0 1) (tengelycsere és nyírás)

A határozatlan együtthatók módszerével: O = [0, 0, 0, 1]; O’ = [0, 0, 0, 1]; a képsíkban XZ sík (TKR) || UV sík (KKR) képe A = [1, 0, 0, 1]; A’ = [1, 0, 0, 1] C = [0, 0, 1, 1]; C’ = [0, 1, 0, 1] Y tengely képe 450 -ban hátrafelé: B = [0, 1, 0, 1]; B’ = [bu, bv, bw, 1]; bu = cos(f) / 2, bv = sin(f) / 2, bw = +1 (vagy más !!!)

mik kiszámítása: mik = ? : M  (A B C O )  (A’ B’ C’ O’) = (m11 m12 m13 m14)  ( 1 0 0 0 )  ( 1 bu 0 0 ), (m21 m22 m23 m24) | 0 1 0 0 | | 0 bv 1 0 | (m31 m32 m33 m34) | 0 0 1 0 | | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 )

mik kiszámítása: mik = ? : M  (A B C O )  (A’ B’ C’ O’) ( m11+m14 m12+m14 m13+m14 m14 )  ( 1 bu 0 0 ), | m21+m24 m22+m24 m23+m24 m24 | | 0 bv 1 0 | ( m31+m34 m32+m34 m33+m34 m34 ) | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) M = ( 1 bu 0 0 ), bu = cos (f) / 2, | 0 bv 1 0 | bv = sin (f) / 2, | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) f = 450, esetleg 300.

Axonometria – tengelyméretes ábrázolás Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra „tengelyméretes ábrázolás”: a tengelyirányú rövidülések: k2 + l2 + m2 = 2 (egy d szakasz rövidülése: k = d’ / d = cos a ) Megőrzi a párhuzamosságot és egy-egy irányban a szakaszok arányát Affin transzformációval számolható

Axonometria - a rajz szokásos elrendezése: TKR: XYZ KKR: UVW

Izometria, egyméretű axonometria k = l = m = 2/3 = 0.82…; ( ~1 !!!) A tengelyirányú távolságok jól érzékelhetőek A TKR egységkockáját a csúcsára állítva a képsíkra merőlegesen A tengelyek vetülete egymástól 1200-ra

Izometria, egyméretű axonometria M = ( m11 m12 m13 m14 ) = | m21 m22 m23 m24 | | m31 m32 m33 m34 ) ( 0 0 0 1 ) =( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( 0 0 0 1 ) h = 3/3, f = 2/3, t = 1/2 M : mozgatás: eltolás és forgatás

Levezetés: 4 független pont és képe: {O A B C}  {O’ A’ B’ C’} 0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2, g = AB (3/2)/3, h = 2g; m = akármi, de  0

Izometria, egyméretű axonometria M = ( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( 0 0 0 1 ) f = 2/3, t = 1/2, h = 3/3

Dimetria k = l/2 = 0.47…, l = m = 0.94..; Rajzolási szabály (jó közelítés): X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban Z” fölfelé X méretek: 1:2 Y és Z méretek: 1:1 P’ = M · P; M = ( -2/4 21/8 0 0 ) |-14/12 –2/12 8/3 0 | ( -7/3 –1/3 –1/3 1/3) ( 0 0 0 1 ) M mozgatás: eltolás és forgatás

Trimetria (olv.) k, l, m: három különböző, rögzíthető érték P’ = M · P ; M mozgatás: eltolás és forgatás - O’ a T (a KKR origója) fölött, - Z” = V tengely - X’, Y’, Z’ a képsíkot P, Q, R-ben döfi cos a = k, cos b = l, cos g = m szög alatt. M a határozatlan együtthatók módszerével

Képek …