2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI 1

Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (1926) 2

1. axióma Alapmennyiségek. 3

A fizikai mennyiségek: Természeti állandók (fénysebesség vákuumban, elektron töltése, elektron tömege  ) Alapmennyiségek (távolság, idő, tömeg, töltés, hőmérséklet, fényerősség) Leszármaztatott mennyiségek 4

Távolság (d) vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z) A klasszikus mechanika alapmennyiségei: Idő (t) Tömeg (m) A többi mennyiséget ezekből származtatjuk le! helyvektor 5

A kvantummechanika alapmennyiségei: Távolság (d) / Helyvektor Idő (t) Tömeg (m) Töltés (q) Impulzus ( ) 6

Távolság (d) / Helyvektor Az x,y,z helykoordináták és az helyvektor jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában. 7

Idő (t) Az idő jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában. 8

Tömeg (m) Az elemi részecskék (elektron, proton, neutron) tömege természeti állandó (m e, m p, m n ), a többieké ezek összege. Pl.: m( 23 Na mag) = 11m p + 12m n A tömeg a kvantummechanikában konstans! (Nem függ a többi fizikai mennyiségtől!) 9

Töltés (q) A mikrorendszerek mozgásában alapvető szerepe van a töltésnek. Ezért a kvantummechanika mennyiségei között szerepel a töltés. Az elemi részecskék töltése is természeti állandó, az elektroné -e, a protoné +e, a neutroné 0. A többi részecskéé ezek összegeként adódik. A töltés is konstans a kvantummechanikában! 10

Impulzus ( ) A kvantummechanikában az impulzus is alapmennyiség. Az impulzus, és a vele összefüggésben álló rendszerek kvantáltak. Az impulzus különleges definíciója az eszköz ahhoz, hogy a kvantált fizikai mennyiségeket megfogalmazzuk. 11

Az impulzus a klasszikus mechanikában másik neve: lendület Vektor! 12

Az impulzus a kvantum- mechanikában Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: 13

Az impulzus a kvantum- mechanikában ; ;. Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: 14

Az impulzus a kvantum- mechanikában ; ;. Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: (Planck-állandó) 15

Tömör formában: nabla vektor, ahol 16

A többi kvantummechanikai mennyiséget úgy állítjuk elő, hogy a klasszikus mechanikában használatos kifejezésekbe behelyettesítjük a fenti módon értelmezett alapmennyiségeket. 17

Példa: Energia, Hamilton-függvény Klasszikus mechanika: T: kinetikus E V: pot. E 18

 V csak a helykoordináták függvénye, ezek a mennyiségek nem változnak a kvantummechanikában. V = V(x,y,z) Előkészület a kvantummechanikára:  T összefügg az impulzussal! 19

Kvantummechanika: Az 1.axióma szerint: 20

skalárszorzat 21

A Hamilton-operátor (egy részecskére) 22

Példa Impulzusmomentum Klasszikus mechanika Kvantummechanika 23

2. axióma Sajátérték-egyenlet 24

Az 1. axióma szerint a kvantált fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk. Ilyenek:  impulzus (alapmennyiség)  kinetikus energia  teljes mechanikai energia  impulzus momentum Hogyan kapjuk meg ezen mennyiségek lehetséges értékeit? 25

2. axióma Egy kvantált mennyiségnek, amelynek az operátora a lehetséges értékeit az operátor sajátérték-egyenletéből számított C = C 0, C 1, C 2... sajátértékek adják meg. Megjegyzés: Az egyenletet megoldva megkapjuk az egyes sajátértékekhez tartozó  (  ) =  0 (  ),  1 (  ),  2 (  )... sajátfüggvényeket is 26

Példa Energia: A Hamilton-operátor sajátértékei A sajátérték-egyenlet a Schrödinger-egyenlet: kin. E. pot. E., ahol 27

Megjegyzés: a kvantumkémiai irodalomban minden helykoordinátáktól függő fizikai mennyiséget operátorként tüntetnek fel. Olyanokat is, amelyek nem kapcsolódnak az impulzushoz, és így nem is kvantáltak. Pl.: Potenciális energia Dipólusmomentum 28

Az m tömegű részecske Schrödinger-egyenlete 29

3. axióma Állapotfüggvények 30

3. axióma Az N számú részecskéből álló rendszer állapotát a állapotfüggvény jellemzi. 31

32

x 1,y 1,z 1 1. részecske helykoordinátái … x N,y N,z N N. részecske helykoordinátái tidő 33

34

megjegyzés: röviden 35

Az állapotfüggvény alkalmazása: A részecskék eloszlását számítjuk ki belőle, egy adott térrészre integrálva: 36

A 3. axióma tagadást is tartalmaz: Nem lehet pontosan megadni, hogy a kvantummechanikai rendszer részecskéi egy adott pillanatban hol tartózkodnak, csak valószínűségeket lehet megadni! A klasszikus mechanikában a részecskék pályája számítható! 37

4. axióma Időbeli folyamatok 38

4. axióma Összekapcsolja az időben változó rendszer állapotfüggvényét és Hamilton-operátorát „Időtől függő Schrödinger-egyenlet” 39

Az időben állandó (stacionárius) rendszerre ebből az egyenletből levezethető, hogy állapotfüggvénye megegyezik a Hamilton-operátor sajátfüggvényével! 40

5. axióma Várható érték 41

Vannak olyan kvantált mennyiségek, amelyek sajátfüggvényei  megegyeznek a Hamilton-operátoréval, azaz  0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel, és vannak,  amelyeké nem egyezik meg. 42

Ha közösek a sajátfüggvények, akkor a rendszer  0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel jellemzett állapotaiban az energia rendre E 0, E 1, E 2,… és a másik kvantált mennyiség értéke rendre C 0, C 1, C 2,…. 43

Ezek az az E-val egyidejűleg mérhető mennyiségek! 44

Ha nem közösek az állapotfüggvények, (az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiségek), akkor a másik kvantált mennyiség értéke az egyes állapotokban bizonytalan, de várható értéke megadható. 45

5. axióma Az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiség várható értéke az n-ik állapotban: a Hamilton operátor sajátfgv.-e az n-ik állapotban. 46

6. axióma 47 Pauli elv (l. többelektronos atomok)

1929: L. W. De Broglie, : W. Heisenberg, : E. Schrödinger, : P. A. M. Dirac, : W. Pauli,

49