Folytonos jelek Fourier transzformációja Milyen jelekre alkalmazható a Fourier transzformáció? Nem csak véges időtartamú jelekre alkalmazható, a feltétel: Véges energia van a rendszerben Ebben az esetben a hibajel energiatartalma nulla 2006.11.14 kezd.

Folytonos jelek Fourier transzformációja Dirichlet feltételek A folytonos helyeken: Szakadási-helyeken: A szakadási-helyeken a Fourier transzformáció sem konvergál a függvényhez (Gibbs jelenség) a jobb és baloldali határérték átlagértéket adja

Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Dirac delta függvény Szintetizáló egyenlet d(t)-re

Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Exponenciális függvény Szimmetrikus aszimmetrikus

Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Négyszög impulzus az időtérben A két szélesség szorzata állandó  határozatlansági reláció!!! Itt Itt

Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Gauss függvény A két szélesség szorzata állandó  határozatlansági reláció!!!

Periodikus jelek Fourier transzformáltja Tegyük fel Periodikus jel Általánosabban

Periodikus jelek Fourier transzformáltja „vonalas spektrum”

Periodikus jelek Fourier transzformáltja Mintavevő periodikus jelsorozat t –ben periodikus jelnek a frekvenciában periodikus jel felel meg. Inverz összefüggés a periódikusokban

A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai 1) Linearitás 2) Időbeli eltolás Az amplitúdó nem változik Fázis: lineáris eltolás

A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai Konjugált szimmetria páros páratlan páros páratlan

A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai Időskála megváltoztatása Időbeni összenyomás frekvenciában széthúzás x(t) valós és páros Valós és páros x(t) valós és páratlan Képzetes és páratlan

A FT konvolúciós tulajdonság Inverz Fourier transzformáció Y(jw)-ra

A FT konvolúciós tulajdonság Következmények a frekvencia válaszra h(t) Frekvencia válasz Impulzus válasz Egy folytonos lineáris invariáns rendszer frekvencia válasza az impulzus válasz Fourier transzformáltja

A FT konvolúciós tulajdonság Példa: H(jw) Az előzőek szerint

A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai Differenciál operátor Lineáris invariáns rendszerek esetében Erősíti a magas-frekvenciájú jeleket, p/2 fáziseltolás

Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válasza Def. Nem kauzális rendszer!

Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válasza Mi a rendszer válasza az egységugrás függvényre tvégtelen

Sorbakapcsolt szűrők Élesebb frekvencia szelektivitás

Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus alkalmazása és a konvolúció szorzás

Konvolúció alkalmazása Gauss fv. konvolúciója Gauss fv=Gauss fv Gauss fv. szorozva Gauss fv=Gauss fv

Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Exponenciális függvény Szimmetrikus aszimmetrikus

Konvolúció alkalmazása racionális törtfüggvények felbontása Inverz Fourier transzformáció

Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris invariáns rendszerek Differenciálási szabály alkalmazásának Mindkét oldal Fourier transzformációja

Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris invariáns rendszerek racionális törtfüggvény a jw-nak parciális törtekre való bontás után meg lehet határozni Ha X(jw) is racionális, akkor Y(jw) is racionális lesz

A teljes energia a frekvencia spektrális energia sűrűség Parseval tétel A teljes energia az időtartományban A teljes energia a frekvencia tartományban spektrális energia sűrűség