NEM-EUKLIDESZI KALANDOK MATEMATIKAÓRÁN, avagy hogyan tanítom a gömbi geometriát felső tagozatosoknak Kuczmann Erika

Bevezetés HEFOP 3.1.3. keretében: kísérletsorozat ESZA és Komenský Egyetem e-learning tanfolyama, összehasonlító geometria Szlovákiában nincs NAT Központi tantervek 1997 1999. szept.1. ún. műveltségi standardok (curriculum) Ellenőrzés: Monitor és más tesztek során

Melyik osztályban mit tanítunk? 1.o.: Háromszög, kör, négyzet, téglalap, gömb, kocka, henger felismerése 2.o.: Pont, szakasz, egyenes jelölése, rajzolása, szakasz hossza, hosszegységek 3.o.: Szakaszok hosszának összehasonlítása, adott középpontú, sugarú kör, háromszög, négyszög rajzolása, csúcsok elnevezése 4.o.: karcos vonalzóval merőleges szerk., szakaszok összege, háromszög, négyzet K

Témakörök a felső tagozaton 1. A szög, szögmérés, -másolás, szögek egybevágósága, összeadása, kivonása, felezése, kétszerezése, csúcs- és mellékszögek (5.o.) - min. 80% váltó- és egyállású szögek (6.o.) 2. A háromszög – min. 70% 5.o.: háromszög-egyenlőtlenség 6.o.: fajtái, területe, külső és belső szögei és tul.-i, nevezetes pontok és vonalak

7.o.: A Pitagorasz tétel és gyakorlati alk. 9.o.: A derékszögű háromszög hegyesszögének szögfüggvényei 3. A paralelogramma és tul.-i – min. 75 % 5.o.: Téglalap, négyzet, rombusz kerülete, területe, szerkesztése, mértékegységátváltás 6.o.:Romboid, paralelogramma 4. Trapéz és szerkesztése, kerülete, területe (7.o.) - 75%

5. A kör, körvonal - min. 80% 5.o.: elnev., koncentrikus körök 8.o.: egyenes és kör, két kör kölcsönös helyzete, érintőszer-kesztés, Thalesz-tétel, kör, körív kerülete, kör, körcikk területe 6. Síkidomok egybevágósága (6.o.) min. 75% Tükrözések, szimmetrikus alakzatok, a háromszögek egybevágósági tételei

7. Síkidomok hasonlósága (9.o.) min. 60% A hasonlóság aránya, gyakorlati alkalmazása, szerkesztési feladatok, a háromszögek hasonlósági tételei 8. Szerkesztési feladatok - min. 60% 5.o.: adott tulajdonságú pontok halmaza, szakasz-, szögfelező, párhuza-mosok, merőlegesek, háromszögek, négyzet, téglalap szerkesztése 6.o.: háromszögek, paralelogramma 7.o.: trapéz 8.o.: Thalesz-kör

9. A hegyesszög szögfüggvényei (9. o. ) min 9. A hegyesszög szögfüggvényei (9.o.) min. 75% sin, cos, tg mint a derékszögű háromszög oldalainak aránya, számológép, táblázat, gyakorlati feladatok 10. Testek felszíne és térfogata - min. 75% 6.o.: kocka, téglatest, mértékegységek 7.o.: hasáb 9.o.: henger, gúla, kúp, gömb

A heti óraszámok: felső tagozaton ill. nyolcéves gimnáziumban 5. oszt.: 5 óra , prima : 5 óra 6. oszt.: 5 óra , secunda: 5 óra 7. oszt.: 4 óra , tertia : 4 óra 8. oszt.: 4 óra , quarta : 4 óra 9. oszt.: 4 óra nagy 1. oszt.: 4 óra , quinta : 3 (!) óra 2. oszt.: 4 óra, sexta : 3 óra 3. oszt.: 3 óra, septima : 3 óra 4. oszt., ill octáva: szeminárium az érettségizőknek, heti 4 óra

A matematikakönyvek Šedivý- Čeretková-Malperová-Ľudoviť Bálint –féle tankönyvek magyar fordításai, (RNDr. Horváth Géza) 1997-2002 a gömbi geometria tanításához szükséges: az igazgató beleegyezése Szülői Szövetség pénzügyi támogatása iskola programjába beveheti, összhangba hozni a követelményekkel

Miért jó és hasznos az összehasonlító geometria tanítása? gömbfelületen élünk, a természetben ez a forma a leggyakoribb (lásd: gyümölcsök, égitestek, labdák, vízcsepp ) a síkgeometriában használt alapfogalmak elmélyítését segíti, a gömb gyakran áttekinthetőbb a gyerekek számára a gömbözés során a gyerekek élvezik a jó hangulatú kooperációt, felkelti bennük a bizonyítás iránti igényt, a földrajzi fogalmak kialakulását is segíti,

Hasznos és fontos, mert segíti a vitakultúra kialakulását, segíti a tolerancia létrejöttét, sok szakember munkájában hasznos: pl. pilóta, hajós, csillagász, mérnök, építész, atomfizikus, biológus, kémikus a manipuláció a gyerekek számára sikerélményt nyújt, önállóságra neveli őket, művészi képességeiket is fejleszthetjük a gömb segítségével.

A munkaforma kooperatív csoportokban dolgoznak (2-4 fő) vegyes csoportok a padokat a táblára kb. merőlegesen állítják fel Lénárt István: Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön c. munkája diák-oldalai összehasonlító táblázat

Az első lépések a felfedezések felé NASA által készített Földtérkép, alapfogalmak, legegyszerűbb elem, rajzeszközökkel ismerkedtünk, forgószínpados módszerrel.

1.csoport, gömbvonalzó

HF.:gömb alakú dolgok neve Föld, bolygók, csillagok, hógolyó, üveggolyó, léggömb, röplabda, gyöngyök, higanycsepp, a modellezőkészlet atomjai, ágyúgolyó, gombolyag, hagyma, szőlőszem, dinnye, citrusfélék termései, kókuszdió, alma, barack, meggy, cseresznyepaprika, paradicsom, borsószem, káposzta, szilvásgombóc, tarhonyaszem, kaviár, nyalóka, rágógumi, bogáncs, emberi fej, szemgolyó, varázsgömb, süni, ha összehúzódik, a harang golyója rúd nélkül.

További alapfogalmak bevezetése A 3 További alapfogalmak bevezetése A 3. órán távolságmérés, sarkpontok és hozzájuk tartozó egyenlítő szerkesztése

Amit érdekesnek találtak A távolságot a gömbön fokokban mérjük. Gömbi vonalzóval egyszerre mérhetünk távolságot és szöget is. Hol található a Greenwich-i hosszúsági főkörhöz tartozó két sarkpont? Az egyik a Greenwich-i hosszúsági főkörtől 90°-ra nyugatra esik az Egyenlítőn (a Galápagos szigetek) , a másik pedig 90°-ra keletre az Indiai-óceánban, Szumátrán.

A 4-5. óra: Párhuzamosság és merőlegesség síkon és gömbön Hány közös pontja lehet két egyenes vonalnak ? 1.lépés: Rajzolj egy e egyenest. 2.lépés: Rajzolj egy egyenes vonalat, aminek nincs közös pontja e-vel. 3.lépés: Rajzolj egy b egyenest, amelyiknek pontosan egy közös pontja van e-vel. 4.lépés: Rajzolj egy c egyenest, amelyiknek pontosan két közös pontja van e-vel. 5.lépés: Rajzolj egy d egyenest, amelyiknek több, mint 2 közös pontja van e-vel.

A KÉT EGYENES HELYZETE

Mit mondhatunk két merőleges egyenesről a síkon és két merőleges főkörről a gömbön? Síkon: Rajzolj két metsző egyenest, amelyek a síkot 4 egyforma részre bontják fel, mérd meg valamennyi szögét. Gömbön: Rajzolj két főkört, amelyek a gömböt 4 egyforma részre bontják fel, mérd meg a két főkör metszésénél keletkező összes szöget.

MERŐLEGES EGYENESEK - FŐKÖRÖK SÍKON KÉT MERŐLEGES EGYENES EGY PONTBAN METSZI EGYMÁST. 4 DERÉKSZÖGET HATÁROZNAK MEG. 4 VÉGTELEN, EGYBEVÁGÓ TARTOMÁNYRA BONTJA A SÍKOT. GÖMBÖN KÉT MERŐLEGES EGYENES KÉT PONTBAN METSZI EGYMÁST. 8 DERÉKSZÖGET HATÁROZNAK MEG. 4 VÉGTELEN, EGYBEVÁGÓ TARTOMÁNYRA BONTJA A SÍKOT.

Hány közös merőlegese lehet 2 egyenes vonalnak, ill. gömbi főkörnek? Szerkesztés a síkon: 1.lépés: Rajzolj két metsző egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges. 2.lépés: Rajzolj két párhuzamos egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges. Szerkesztés a gömbön: 1.lépés: Rajzolj két különböző gömbi főkört. 2.lépés: Próbálj olyan főkört szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges. Vizsgáld meg, hány közös merőlegese van két különböző főkörnek! Hány közös merőlegese lehet 2 egyenes vonalnak, ill. gömbi főkörnek?

A sokszögekről a “zárt sokszög” fogalma ???: Az 1. óra ismétlés, majd a gömbi kétszögek (2 óra) ill. gömbháromszögek (3 óra) a “zárt sokszög” fogalma ???: Nevezzük zárt n-szögnek (ahol n tetszőleges természetes szám) n db síkbeli, ill. gömbi egyenesdarab rendezett sorozatát, ahol bármelyik egyenesdarab végpontja megegyezik a rákövetkező egyenesdarab kezdőpontjával, az utolsó, n-edik egyenesdarab végpontja pedig megegyezik az első egyenesdarab kezdőpontjával.

szemléltetés: 4 kislány kézfogása - négyszög matematikai jelölés szemléltetés: 4 kislány kézfogása - négyszög rajzoljanak sokszöget --ívháromszögek gömbi kétszögek: Két átellenes pont félfőkörívekkel (meridiánokkal) összekötve oldalösszegük alsó és felső határa :360°, azaz 360 gömbi lépés A szögösszeg nem állandó, hanem 0 ° és 360° közé eshet !! Szabályos sokszög-e? Létezik-e gömbi egyszög?

Gömbkétszög

Gömbkétszög szerkesztése

Gömbkétszög szögeinek mérése

Összehasonlító táblázat, gömbkétszögek

Összehasonlító táblázat 2., gömbkétszögek

EULER-FÉLE GÖMBHÁROMSZÖG

Nem Euler-féle gömbháromszög

A háromszögek belső szögeinek összege síkon és gömbön Síkon: tépéssel-ragasztással, hajtogatással, méréssel, bizonyítással Szerkesztés: két háromszög egymás belsejében A gömbön a szögösszeg nem állandó, a kisebb háromszög szögei is kisebbek, szögösszege is kevesebb.

Belső szögösszeg gömbháromszögeknél elfajult esetek Mikor lesz egy gömbháromszög belső szögeinek összege 180°? Ha a=80°, akkor mérésük 252° és 240° Ha a=70°, akkor 225°, 228 és 231° Ha a=60°, akkor 207°, 210 ° és 213° Ha a=30°, akkor mérésük 183° és 189° Kísérlet: a= 20 °, ill. a=10 ° 180° és 540° közé esik !!

További vizsgálódási lehetőségek Oktáns Pitagorasz tétele : vajon a gömbön érvényes-e ? Van-e hasonlóság a gömbön? Nincs! A háromszög magasságvonalainak, középvonalainak, súlyvonalainak vizsgálata Négyszögek

A KÖR KERÜLETE Hogyan aránylik a kör kerülete az átmérőjéhez? Kísérletek: különböző méretű poharak Síkon: 3,14 Gömbön: az arány nem állandó, hanem a kör nagyságával változik. Nagyon kicsi gömbi körökre ez az arány közel áll píhez, de annál mindig kisebb. Főkörre ez az arány éppen 2. Egészen 0-ig is zsugorodhat.

ÖSSZEGZÉS induktív érvelés: tapasztalatszerzés, általánosítás, az első felfedezések deduktív érvelés: axiómák harca,logikai következtetés mindkettő megértését segíti rengeteg pozitív élményt nyújt egyidejű bevezetés

„Ez a matematika nem tökéletes, nem hideg, nem felsőbbséges „Ez a matematika nem tökéletes, nem hideg, nem felsőbbséges. A legkevésbé sem tévedhetetlen, de mindig kész arra, hogy tévedéseit felismerje, és tanuljon belőlük. Semmi köze gőghöz, nagyképűséghez, csalhatatlansághoz. éppolyan gyarló, éppolyan emberi, mint azok a nők és férfiak, akik alkották, vagy alkotják most is. Őrültség gyűlölni, vagy félni tőle. Legigazibb pillanataiban egyszerű, vad és csodálatos.” (Lénárt István)

Felhasznált irodalom: 1. Lénárt István: Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Múzsák kiadó Kft., Budapest (1999 2.Sedivý- Čeretková-Malperová-Ľudoviť Bálint: Matematika 5., 6., 7., 8., 9. osztály számára 1. és 2.részek, Slovenské pedagogické nakladateľstvo (1997-2002) 3.www.lenartgomb.hu 4.www.ematik.sk