Fogolydilemma játékok három stratégiával önkéntes fogolydilemma játék Nyereménymátrix: A három stratégia ciklikusan dominálja egymást: C legyőzi L-t L legyőzi D-t D legyőzi C-t Következmény: önszervező mintázat a térbeli modelleknél Szimuláció 2d rácson

Önkéntes fogolydilemma játék négyzetrácson és Bethe-rácson A párközelítés eredménye megegyezik a kétféle szerkezeten: az instabil megoldás (szaggatott vonal) mellett létezik egy oszcilláló megoldás is MC szimuláció növekvő b-nél, ha K=0.1, σ=0.3, N=10 6 C(◊), D(□) és L(∆) sűrűsége négyzetrácson D sűrűsége a véletlen reguláris gráfon Globális oszcillálás alkalmi társakkal Furcsaság: b növelése D-nek kedvez, mégis L gyakorisága növekszik

Evolúciós kő-papír-olló játékok gráfokon Az eredeti kétszemélyes játékban három stratégia: kő legyőzi ollót (elveszi az élét) olló legyőzi papírt (elvágja) papír legyőzi követ (becsomagolja) ciklikus dominancia Nyereménymátrix (zérus összegű játék): irányított háromszög-gráf szomszédsági mátrixa (táplálékháló három „egymást körbeverő” fajnál) Nash egyensúly: kevert stratégia

Evolúciós kő-papír-olló játék négyzetrácson Tainaka 1988 ciklikus ragadozó-zsákmány modell (egyszerűsített evolúciós szabály) 3 stratégia (faj) egyedei a négyzetrács x pontjain (periodikus határfeltétel) s x =1, 2, 3 (egyszerűsített jelölés) Véletlen stratégia-eloszlásból indulva az rendszer fejlődését a következő elemi lépések ismétlése vezérli (invázió az első szomszédok között): - véletlenül kiválasztunk egy x rácspontot és annak y szomszédját - (s x,s y ) pár (s x,s x )-é alakul, ha s x zsákmánya s y (s y,s y )-ná alakul, ha s y zsákmánya s x - azonos pároknál semmi sem történik Szimuláció: önszervező mintázat - a három állapot ciklikusan váltogatja egymást minden rácspontban - a lokális oszcillálást a rövid távú kölcsönhatás nem szinkronizálja - a dinamikus egyensúlyt az inváziós frontok mozgása tartja fenn simulation

Szimulációs eredmények négyzetrácson Korrelációs függvény: független y-tól, k-tól és a t időtől k stratégia túlélése egy adott pontban: Numerikus eredmények: C(x) ≈ e -x/ξ, ξ =2.8(2) S(t) ≈ e -t/τ, τ=1.8(1)

Átlagtér-közelítés ρ s az s stratégia sűrűsége (s=1, 2, 3) Mozgásegyenletek: Megmaradó mennyiségek:→koncentrikus pályák a triplexen

Mozgásegyenletek stacionáris megoldása: szimmetrikus: perturbáció → oszcillálás 3 homogén: instabil a ragadozójával szemben Numerikus megoldás: oszcilláló megoldások koncentrikus pályák a triplexen

Párközelítés z: szomszédok száma (négyzetrácson: z=4) Mozgásegyenletek: stb. Ha z > 2, akkor

Párközelítés numerikus integrálással A stratégiák valószínűsége növekvő (és lassuló) oszcillálást mutat A spirálpálya konvergál a háromszög éleihez Numerikus (kerekítési) hiba valamelyik homogén állapotba viszi a rendszert A kétdimenziós modell viselkedését a négypontos közelítés már helyesen írja le

Evolúciós kő-papír-olló játék Bethe rácson (z=3) Szimuláció (véletlen reguláris gráfon nagy N-nél): oszcilláció → határciklus (vastag folytonos vonal) Átlagtér-közelítés: periodikus visszatérés a kezdőállapotba (koncentrikus pályák) Párközelítés: növekvő oszcillálás (végül valamelyik homogén állapot) Hatpontos közelítés: oszcilláció tart a határciklushoz (szaggatott vonal) Monte Carlo szimulációk: Hasonló viselkedés, ha z=4 A párközelítés jóslata teljesül, ha z ≥ 6 Hasonló viselkedés a négyzetrácson, ha játékosaink Q vsz-gel választanak tetszőlegesen távoli társat. Ez a „kisvilág” hatás. Q=0.08

Evolúciós kő-papír-olló játék egydimenziós rácson (z=2) Szimuláció: időfejlődés véletlen kezdőfeltételből → rendeződési folyamat Kéféle domén növekszik 1.) Homogén domén mérete: l ≈ t 3/4 skálatörvényekből származtatható 2.) Szuperdoménok jobbra (vagy balra) haladó frontokkal méret:h ≈ t Párközelítés megoldható z=2-nél, ha

Forgó spirálkarok (vortexek) a kétdimenziós modellekben A határvonal kisimítható, ha csökkentjük azon inváziók vsz.-ét, amelyek növelik a határvonalak teljes hosszát (pl. Potts energia is befolyásolja a vsz.-et) szimulációHáromszínű térkép topológiai tulajdonságai Forgó vortexek és antivortexek spirálkarokkal Forgás nélkül: doménnövekedés Álló vertexek és antivertexek váltakozva helyezkednek el a határok mentén Hasonló a mintázat minden olyan modellben, ahol a környezet is befolyásolja az elemi inváziót A hagyományos kő-papír-olló játékban a határ érdesedése elnyomja a spirálok megjelenését - vortex-antivortex párok képződnek

Különböző inváziós valószínűségek mozgásegyenletek (átlagtér közelítésben): Stacionáris megoldások: - a három faj együttélése: - homogén állapotok: (mindegyik instabil) Megmaradó mennyiségek:

Válasz az inváziós ráták különbözőségére - Mindegyik faj megmarad (stabilizáló hatás). - Nem a legnagyobb étvágyú (w ij ) faj létszáma lesz a legnagyobb, hanem annak ragadozója lesz az igazi haszonélvező. (ezek a tulajdonságok a térbeli modellekben is megtalálhatók) Ok: a táplálékhálón keresztül közvetített kölcsönhatás páratlan fajszámnál - Aszimmetrikus oszcillálás (megmaradó mennyiségekkel):

Feladatok 1.) Határozzuk meg az oszcillálás időfüggését a kő-papír-olló játék populáció- dinamikai modelljében az ε→0 határesetben, ha ρ 1 (t=0)=1/3+ε és ρ 2 (t=0)=ρ 3 (t=0)=1/3-ε/2! (Jótanács: a megoldás oszcilláló részét keressük komplex formában, azaz: δρ k (t)=εe iωt-i2πk/3 +c.c. alakban. 2.) Melyek lesznek a megmaradó mennyiségek abban a hatfajos, sokciklusos, ragadozó-zsákmány modellben, aminek populációdinamikáját a következő egyenletrendszer definiálja: Rajzold le a táplálékhálót is!