Csomóelmélet Gáspár Merse Előd 2004. március 23. Előadásom címe: Csomók matematikus és fizikus szemmel. Mielőtt a matematikai részébe belevágnék, hadd adjak egy kis ízelítőt, hogy mire is használták a csomókat a történelem folyamán, és mire is jók ma. A csomókat korán felhasználták számolásra, az idő múlásának jelzésére, információ tárolásra, de egy írástudó ember emlékezetének felfrissítésére még ma is hasznára van egy zsebkendő sarkára kötött csomó. Hérodotosz ie. 440-beli írása szerint, amikor Dareiosz perzsa király büntetőhadjáratra indult az engedetlen szkíták ellen, hátrahagyta a szövetséges görög erőket egy stratégiai fontosságú híd őrzésére, és egy 60 csomóval ellátott korbácsot nyújtott át a görögöknek. Meghagyta, hogy mindennap fűzzenek ki egy csomót, s ha nem térne addigra vissza, mire az összes csomót kifűzték, akkor szálljanak hajóra, és vonuljanak haza. Az efféle információtárolás és a rováspálcák használata az írás legősibb formáihoz tertoznak.

Az ő feladatuk volt a csomózás és a csomójelek magyarázata. Egy csomó mindenre jó! Az inkák bürokratikus jegyzőeszköze: a quipu Az inka birodalmi hivatalnokok még a XVI. században is ún. Quipucamayocs - ok voltak, azaz csomókötők. Az ő feladatuk volt a csomózás és a csomójelek magyarázata. Az inkák például összecsomózott kötélből és zsinegekből álló tárgy, ún. quipu segítségével követték a tárgyak útját a birodalmon belül. Ez volt az egyetlen bürokratikus jegyzőeszköz. A városokban a csomókötő feladata volt a csomózás és a csomójelek magyarázata. A rendszer olyan jól működött, hogy még a spanyol konkvisztádorok idején is használták, a 16. században.

A kelta csomók a VII. sz. környékén kerültek írországba. A szimbolikus jelentésű kelta csomók Feltehetőleg mindenki jól ismeri a kelta csomókat, amiket ma is előszeretettel használnak díszítésre a legkülönbözőbb helyeken a legváltozatosabb anyagokkal. Az érdekességük az, hogy a kelta csomók egyben egy hatalmas szimbólumrendszer, mert minden egyes csomónak megvan a saját jelentése. A kelta csomók a VII. sz. környékén kerültek írországba. Az önmagába záródás az örökkévalóságot szimbolizálja, az egyes csomók pedig: barátságot, szerencsét, könnyeket ...

A hegymászók, barlangászok, hajósok csomói életeket menthetnek Aztán itt vannak a hegymászók, barlangászok, hajósok csomói, amik életeket menthetnek és mentettek is, például a hajósokéi évszázadokon át. De elengedhetetlen a csomókötés ismerete a halászok és bűvészek számára is. Nade térjünk rá a csomóelméletre, A halászok, bűvészek mesterségéhez is elengedhetetlen a csomókötés

Alapfogalmak Csomódiagram (síkábrázolás,projekció) Csomók, láncok, fonatok Hurokbog (hollandi csat) Whitehead-lánc Fonat (gubanc)

Matematikai precizitással… Az alábbihoz hasonló végtelen csomókkal most nem szeretnénk foglalkozni!

A csomóelmélet kezdete Johann Frederich Carl Gauss (1775 –1855 ) Felvetette az alapproblémát: miként lehet eldönteni a csomódiagram alapján két csomóról, hogy ekvivalensek-e? Bevezette két csomó ún. hurkolódási együtthatóját. Tanítványai elkezdtek foglalkozni a csomók osztályozásával. Két csomó ún. hurkolódási együtthatója A csomóelmélet, mint annyi minden más, Gaussal kezdődött, a nagy német matematikussal. A mértéktranszformációnak a klasszikus fizikában csak formális szerepe van, a mágneses térerőség mindent meghatároz. Nem úgy a kvantummechanikában, ott általában a térerősség túl kvés a vektorpotenciál pedig túl sok információt hordoz a rendszerről. A köztes út megtalálása során csomóinvariánsokra bukkanunk. A két C1 és C2 csomóban folyjon áram, amik B1 és B2 mágneses térerősségeket határoznak meg.

Lord Kelvin, William Thomson (1824 –1907 ) Kitalálta az éter gondolatát, és úgy gondolta, az atomok csomót formáló örvények a láthatatlan éterben. Peter Guthrie Tait (1831 –1901 ) Megpróbálta a kereszteződési szám szerint osztályozni a csomókat. A jelöléseit még ma is használjuk. Kelvin elmélete alapján remélte, hogy a csomók osztályozásának megoldásával megoldódik az atomok osztályozása is. Tait volt az első, aki rámutatott a csomók és síkgráfok közti kapcsolatra. Tait skót fizikus. N_m-el jelölik az általa m-ediknek megtalált n kereszteződési számú csomót. Csomóinvariánsokat is keresett, de sajnos nem járt sikerrel. Az általa táblázatba foglalt csomók viszont segítenek érdekes példákat és ellenpéldákat szolgáltatni csomóelméleti sejtésekre. Elofordult az is, hogy Tait es az utokor altal sokaig kulonbozonek gondolt csomokrol kesobb kiderult, hogy azonosak. A csomók síkgráffá való alakításának később nagy jelentősége lesz.

Csomók irányított síkgráffá alakítása

Tait táblázata a legfeljebb 7 kereszteződési számú prímcsomókra Primcsomok definicioja Schubert, 1949: minden csomó előáll prímcsomók összefüggő összegeként.

Kurt Reidemeister (1893 –1971 ) Két csomódiagram pontosan akkor definiálja ugyanazt a csomót, ha megkaphatók egymásból a reidemeister-lépések véges sokszori alkalmazásával. 1932-ben befejezte a csomók osztályozását 9 kereszteződési számig. Landau tanitvanya. A lépéseket úgy kell érteni, hogy a sík egy kis körlapján hajtjuk őket végre.

szakaszonként folytonos kategóriában Bizonyítás (vázlat) szakaszonként folytonos kategóriában Definiáljuk a ∆- lépést: Egy szakaszonként folyt. csomó egy szakaszának 2 végpontja legyen x és y. Legyen y olyan térbeli pont, hogy az xyz- háromszög az xy-szakasz kivételével diszjunkt a csomótól. Ekkor az xy-szakasz [xz][zy] töröttvonalra való cseréjét nevezzük ∆-lépésnek. Megmutatható, hogy a ∆-lépések a csomók ekvivalenciáját generálják, azaz ha 2 csomó ekvivalens, akkor véges sok ∆- lépéssel, vagy annak inverzével átvihetők egymásba. A ∆-lépések vetületei a síkon pontosan a Reidemeister- lépések. Q.E.D. Tudjuk, hogy két csomó pontosan akkor ekvivalens egymással, ha R-lépéseken keresztül egymásba vihetők, de nem tudjuk, hogy mikor melyik lépést kell alkalmazni, és hogy összesen hányra van szükség. Segítséget jelentene, ha találnánk valamiféle (pl. egész értékű) bonyolultságfüggvényt a diagramokon, és mutatnánk egy algoritmust, ami tetszőleges csomódiagramot az R-lépéseken keresztül kisebb bonyolultságú diagramba visz. Ekkor a csomókat minimális bonyolultságú alakra tudnánk hozni, s így jó eséllyel eldönthető lenne az ekvivalencia. Egy ilyen bonyolultságfüggvényre magától adódó példa a kereszteződések száma. Ez azért jó esélyes, mert R-II visszafelé alkalmazva növeli az értékét. Sajnos azonban léteznek példák, amikor ezt az egyet kezdetben sokszor kell alkalmazni. Ilyen egyszerű módon tehát nem használható a Reidemeister-tétel, viszont hatalmas segítség a csomóinvariánsoknál.

Csomóinvariánsok A csomóinvariánsok a csomó deformálásával nem változnak Egyszerű csomóinvariánsok: komponensek száma, kereszteződési szám. Alexander-polinom (James W. Alexander,1928) Jones-polinom (Vaughan F. R. Jones,1984) HOMFLY-polinom (az előzők általánosítása,1985) A csomóinvariánsok kiszámításának módszerei James W. Alexander amerikai matematikus Jones uj zelandi. Fields medalt is kapott, ami a matematikusok nobeldija. HoMFLY mozaikszó mely a 8 feltalálóból 6-nak a nevéből származik. John Horton Conway brit matematikus. Kibogozási reláció (John Horton Conway) Kauffman féle-állapotmodell

A Jones-polinom kiszámításának lépései: Kibogozási reláció A Jones-polinom kiszámításának lépései: A kibogozni kívánt csomót irányítással látjuk el, és kiválasztunk egy kereszteződést, melynek alapján 3 csomót hozunk létre. L+ L- L0 A kibogozási reláció így szól A triviális csomó Jones-polinomja 1, azaz

Példa A legegyszerűbb 2 db triviális csomó kiszámítása Háromlevelű csomó kiszámítása Menetrend

Kauffman-féle állapotmodell Az összes kereszteződést egymással nem kapcsolódó körökre bontjuk az összes lehetséges módon az alábbi 2 átalakítás segítségével A A-1 A lánc ún. zárójeles polinomja: ,ahol Az összes kereszteződésbeli A és A-1-ek szorzata A körök száma az előálló diagramban A zárójeles polinomból helyetteséssel kapjuk a Jones-polinomot (egy hatványszorzó erejéig).

A Hopf-lánc kiszámítása Példa A Hopf-lánc kiszámítása A2 AA-1=1 AA-1=1 A-2 Emlékezzünk vissza a bogozó relációval kapott Jones-polinmra. Valóban egy szorzófaktor erejéig ugyanaz. 2 1 1 2

A HOMFLY-polinom A bogozó-reláció általánosításával kapjuk az alábbi relációt, ami polinomok végtelen seregét definiálja. n=0 az Alexander-polinomnak, n=1 a Jones-polinomnak felel meg. Az egyváltozós polinomok végtelen serege egyértelműen kiterjeszthető egy kétváltozós polinommá, ezt nevezzük HOMFLY-polinomnak. Felmerülhet a kérdés, hogy az algoritmus egyértelmű eredményt szolgáltat-e. Nem-e kapunk más eredményt, ha más sorrendben alkalmazzuk a bogozó relációt? Nos a válasz: nem. De ennek hosszadalmas algebrai bizonyítása van. Általában másképp szokták definiálni ezeket a polinomokat, s tulajdonságként mutatják meg, hogy teljesítí a bogozó relációt.

Alternáló csomók Alternáló diagram: Ha elidulunk a diagram egy tetszőleges pontjából, akkor a diagram görbéje felváltva halad felül és alul. Alternáló csomó: Létezik alternáló diagramja. Alternáló diagram Nem alternáló diagram További érdekes kérdések az alternáló csomókkal kapcsolatban: Minden alternáló diagram minimális? Minden nem-triviális alternáló diagram nem-triviális csomót definiál-e? A sejtések igazak, 1985-ben sikerült bebizonyítani őket a Jones-polinomok segítségével. A legtöbb csomó alternáló. Az első nem alternáló csomó 819. Megoldatlan probléma: 3 dimenziós definíciót adni az alternáló csomókra a diagram említése nélkül.

További Megoldatlan problémák Mikor ekvivalens egy csomó az inverzével? (Egy irányított csomó inverze a tükörképe ellentétes orientációval). Mely csomókból kapunk triviális csomót, ha a minimális számú kereszteződést tartalmazó diagramjukon 1 kereszteződésben végrehajtjuk az alábbi transzformációk valamelyikét? A háromlevelű lóhere az egyetlen olyan csomó, amelynek van olyan realizációja a térben, hogy nincs olyan sík, mely érintené 3 vagy több pontját a csomónak?

Borromean rings & n-Borromean links Ha az egyik komponenst elvágjuk, akkor az egész darabokra esik szét.

Csomók a részecskefizikában Az alábbi fonatra úgy is tekinthetünk, mint részecskék pályáira. Az idő teljen felfelé. A kétfajta kereszteződés jelöljön kétféle kölcsönhatást a részecskék között. A lokális maximumban legyen annihiláció. A lokális minimum jelölje részecskék keletkezését.

Csomók a statisztikus fizikában az Ising-model története Az Ising-model Ernst Ising (W. Lenz) doktori disszertációja volt 1924-ben. Azóta számos neves tudós hivatkozott rá (Lenz, Heisenberg, Kramers, Montroll, Wannier, Kubo, Onsager). És számos fizikán kívűli területen is jelentős eredményeket ért el (neurális hálózatok, madárcsapatok mozgása, szívkamrák verése, szociológiai modelek ). 1969 és 1997 között több mint 120 000 cikk jelent meg az Ising-modellel kapcsolatban!

A Potts-model A vektor Potts-model (1952) az Ising-model általánosítása oly módon, hogy a spinek q diszkrét irányban állhatnak. (q=2 az Ising-model ). Q=2,3,4 esetén 2 dimenzióban ismert a megoldása Potts által. A ma standard Potts-modelnek hívott modelt Potts ugyanabban a cikkben közölte megjegyzésként. Q=2 standard Potts-model ekvivalens a q=2 vektor Potts-modellel J2=-2J1 esetén, és q=3-nál pedig 2J2=-3j1 esetén.

Q>2 modeleknek q=2-től eltérő kritikus exponensei vannak. q>5 és q=5-re elsőrendű fázisátalakulás van 2 dimenzióban. Bevezethető külső tér: Az állapotösszeg (Z) számolása meglehetősen nehéz probléma. Jones mutatott rá, hogy meglepő kapcsolat van a csomóelmélettel ezen a téren. Kiderül, hogy az álapotösszeg számolása csomóinvariánsokat szolgáltat.

Csomóelmélet a molekuláris dinamikában A DNS egy komplikáltan felcsavarodott és összegubancolódott csomó, amit enzimek “bogoznak” ki. A csomóelmélet segítségünkre van abban, hogy megbecsülhessük, milyen nehéz is a DNS-t kicsomózni, s ezzel információt nyerjünk az enzimek működésére és tulajdonságaira.

Irodalomjegyzék Linkek Rimhányi Richárd: Csomók és 3-sokaságok (MAFIHE jegyzet, 1995) Vaughan F. R. Jones: Knot Theory and Statistical Mechanics (Scientific American, November, 1990) Linkek http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.html http://mathworld.wolfram.com/Knot.html http://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory