PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Markovian queuing systems 2.Applied Queuing theory 3.Network of Queues Várakozásos rendszerek TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, Internetben, IP rendeszerekben … ez a szokásos üzemmód.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Osztályozás 2.Általános eredmények 3.Pollaczek-Hincsin képlet – M/G/1 4.Állandó tartásidő 5.GI/G/1 6.Prioritásos rendszerek 7.Round Robin és processor megosztás Applied Queuing Theory Rendszerek egyetlen kiszolgáló szervvel.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Osztályozás 1. Rendszerek jellemzése Kendall féle jelölés: Kendall féle jelölés: Eloszlás típusok: Milyenek ezek ?

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Osztályozás 2. Teljes jellemzés: További jelölések: K = n veszteséges rendszer A b csoportos érkezést (bulk or batch arrival). B b csoportos kiszolgálást, C ütemezett (clocked) kiszolgálást jelent.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Osztályozás 3. Várakoztatási stratégiák A fenti stratégiák esetében az összes igényre vonatkoztatott teljes várakozási idő egyforma.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Osztályozás 4. Eddigiek érkezési időpont vagy ismert tartásidőtől függő stratégiák. Alábbiak dinamikusak, a stratégia a rendszerben töltött idő függvénye.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Osztályozás 5. Prioritások Az egyes osztályokban a már említett stratégiák érvényesülhetnek

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Osztályozás 6. Előfizetők viselkedése

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Általános eredmények – 1 Sok speciális eset, kevés általános eredmény. Sok speciális eset, kevés általános eredmény. Little tétele általánosan alkalmazható tetszőleges várakozásos rendszerre. Little tétele általánosan alkalmazható tetszőleges várakozásos rendszerre. Matematikailag egyszerűen a Poisson bemeneti folyamatú rendszerek kezelhetők. Matematikailag egyszerűen a Poisson bemeneti folyamatú rendszerek kezelhetők. Sorba-kötött várakozásos rendszerek és várakozásos hálózatok esetében fontosak a szimmetrikus rendszerek, amikor a rendszerből való távozás is Poisson folyamat. Sorba-kötött várakozásos rendszerek és várakozásos hálózatok esetében fontosak a szimmetrikus rendszerek, amikor a rendszerből való távozás is Poisson folyamat. A klasszikus modellek fontosak, mert, ha a kiszolgáló szervek darabszáma növekszik, sok rendszer ezekhez konvergál (Palm tétel) A klasszikus modellek fontosak, mert, ha a kiszolgáló szervek darabszáma növekszik, sok rendszer ezekhez konvergál (Palm tétel)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Általános eredmények – 2 In waiting time systems we also distinguish between call averages and time averages. The virtual waiting time is the waiting time, a customer experiences if the customer arrives at a random point of time (time average). The actual waiting time is the waiting time, the real customers experiences (call average). When we consider systems with FCFS queueing discipline and Poisson arrival processes, the virtual waiting time will be equal to the actual waiting time due to the PASTA property (time averages are equal to call averages).

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Munka megmaradás – 1. Work conservation – munka megmaradása ~ nincs szabad kiszolgáló, amig van várakozó igény. Az igény kiszolgálási kiszolgáló, amig van várakozó igény. Az igény kiszolgálási ideje független a sorbanállási stratégiától (queuing discipline), ideje független a sorbanállási stratégiától (queuing discipline), azaz a kiszolgáló egység kapacitása nem változik pl. a sor azaz a kiszolgáló egység kapacitása nem változik pl. a sor hosszúság függvényében. Ez emberi kiszolgálás esetében hosszúság függvényében. Ez emberi kiszolgálás esetében gyakran nem teljesül. gyakran nem teljesül. Load function U(t) – munkahátralék függvény ~ a t időpontban beérkezett és a rendszerben már tartózkodó a t időpontban beérkezett és a rendszerben már tartózkodó igények kiszolgálásához szükséges idő. igények kiszolgálásához szükséges idő. U(t) várható értéke: U = E{U(t)} U(t) várható értéke: U = E{U(t)} Virtual waiting time W(t) a t időpontban beérkezett igény várakozási ideje, függ a a t időpontban beérkezett igény várakozási ideje, függ a queuing discipline-től. W(t) várható értéke: W=E{W(t)}. queuing discipline-től. W(t) várható értéke: W=E{W(t)}. FCFS esetében: U(t) = W(t). FCFS esetében: U(t) = W(t). Munka megmaradás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Munka megmaradás – 2. A GI/G/1 várakozásos rendszerben U(t) független a sorbanállási stratégiától, ha érvényes a munkamegmaradás elve. FCFS stratégia esetében a várakozási idő megegyezik a megérkezés idejében meglévő munkahátralékkal. Ha a beérkezések közötti idő, T i+1 – T i, jele: a i, akkor Lindley egyenlőségét kapjuk: ahol U i a munka hátralék a T i időpontban

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Munka megmaradás – 3. GI|G|1 Ha: T i+1 – T i = a i akkor U i+1 = max{0, U i + s i – a i } a6a6a6a6 U3U3U3U3 s2s2s2s2

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Forma tényező (Palm féle) Emlékeztető (Jegyzet p.63-64):

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Pollaczek-Hincsin képlet (M|G|1) 1. W is the mean waiting time for all customers, s is the mean service time, A is the offered traffic, and ε is the form factor of the holding time distribution. Kisebb formatényező, azaz egyenletesebb kiszolgálási idő mellett az átlagos várakozási idő kisebb. Telefon forgalom esetén ε = 4-6, adatforgalomra ε = Formatényező (s = m)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Pollaczek-Hincsin képlet (M|G|1) 2. A képlet levezetése Egy tetszőleges igény W átlagos várakozási ideje: 1. A kiszolgálás alatt lévő igény hátralévő átlagos 1. A kiszolgálás alatt lévő igény hátralévő átlagos kiszolgálási ideje (residual mean service time – kiszolgálási ideje (residual mean service time – Tankönyv, p. 52), Tankönyv, p. 52), feltéve, hogy van egyáltalán ilyen, aminek a feltéve, hogy van egyáltalán ilyen, aminek a vsz.-e: A. Azaz: vsz.-e: A. Azaz: 2. A sorban várakozó igények várakozási ideje, ha 2. A sorban várakozó igények várakozási ideje, ha L az átlagos sorhosszúság Little tétel alapján: L az átlagos sorhosszúság Little tétel alapján: (Annak vsz-e, hogy nincs kiszolgálás: p 0 =( 1 – A )

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Pollaczek-Hincsin képlet (M|G|1) 3. Minden sorban álló miatt átlagosan s időt kell várni. Így: A teljes várakozási idő: A ténylegesen várakozók átlagos várakozási ideje: Itt D a várakozás valószínűsége. (D = A = 1-p 0 ) A levezetés a PASTA tulajdonság miatt pontos !

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Foglaltsági periódus – M|G|1 Az ábra M/D/1rendszerreérvényes A várakoztatott igények várakozási idejének momentumait FCFS és LCFS stratégia esetében lásd: Tankönyv, p ) A képlet általánosanérvényes

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Korlátozott várakozási sor – M|G|1|k –1 Az M|G|1 rendszerre érvényes és az M|G|1|k–re érvényes p(i)-k között az alábbi összefüggések érvényesek. ahol: A < 1 és k jelentése: 1 kiszolgáló + (k-1) várakozási hely. p(i) kiszámítására vannak algoritmusok tetszőleges tartásidő eloszlásra. – A fenti képletek A>1 esetére nem érvényesek, de a véges rendszer statisztikai egyensúlyban van.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Korlátozott várakozási sor – M|G|1|k –2 Tail Drop, or Drop Tail, is a simple queue management algorithm used by Internet routers to decide when to drop packets. In contrast to the more complex algorithms like RED and WRED, in Tail Drop all the traffic is notREDWRED differentiated. Each packet is treated identically. With tail drop, when the queue is filled to its maximum capacity, the newly arriving packets are dropped until the queue has enough room to accept incoming traffic. The name arises from the effect of the policy on incoming datagrams. Once a queue has been filled, the router begins discarding all additional datagrams, thus dropping the tail of the sequence of datagrams. The loss of datagrams causes the TCP sender to enter slow-start, which reducesslow-start throughput in that TCP session until the sender begins to receive ACKs again and increases its congestion window. A more severe problem occurs when datagrams from multiple TCP connections are dropped, causing global synchronizationglobal synchronization, i.e., all of the involved TCP senders enter slow-start. This happens because, instead of discarding many segments from one connection, the router would tend to discard one segment from each connection. Wikipedia – Példa

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Korlátozott várakozási sor – M|G|1|k –3 Wikipedia – Random early detection (RED), also known as random early discard or random early drop is an active queue management active queue managementactive queue management algorithmalgorithm. It is also a congestion congestion algorithmcongestion avoidanceavoidance algorithm. avoidance RED makes Quality of Service Quality of ServiceQuality of Service (QoS) differentiation impossible. Weighted REDWeighted RED (WRED) and Weighted RED RED In/Out (RIO) provide early detection with some QoS considerations. Példa

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – M/D/n (FCFS) Az igények ugyanolyan sorrendben hagyják el a rendszert, mint ahogy kiszolgálásra elfogadták azokat. Történelmi megjegyzések Erlang (1909, 1917, 1920) Fry (1928) Crommelin (1932, 1934) Polaczek ( ) Hincsin (1932) Állandó tartásidő Alkalmazás eleinte csak pl. markerekhez, majd később a TPV kapcsolóközpontok, számítógépek és azok hálózatainak megjelenése után széleskörűen.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 1. M/D/1 állapotegyenletek hívásintenzitás tartásidő A rendszert a t és a t+h időpontban vizsgáljuk. A t időpontban kiszolgált, max. egy igény a t+h időpontban már nincs a rendszerben. A (t, t+h) intervallumban érkezett igények egyike a t+h időpontban kiszolgálás alatt áll, a többi várakozik. A beérkezett igények darabszáma: Poisson eloszlás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 2. ………. Ha üres a rendszer és i érkezik, akkor h idő múlva még egy sem távozott. Ha van kiszolgálás, és i érkezik, akkor h idő múlva egy igény már távozott. levezetés:Tankönyv p. 269.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 3. M/D/1, átlagos várakozási idő, foglaltsági periódus PASTA miatt a várakozás D valószínűsége: W az átlagos várakozási idő az összes igényre, w a várakozókra. A Pollaczek- Hincsin formulát alkalmazva w az M/G/1-re érvényes foglatsági periódus fele A foglaltsági periódus alatt beérkező igények eloszlása, Borél eloszlás (s = h !!) A formatényező = 1 2w =

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 4. Várakozási idő eloszlása, M/D/1 és FCFS Bizonyítható, hogy: ahol h=1 az időegység, t=T+ τ, T egész és 0 ≤ τ <1 Irregularitás, ha W = kT Numerikus számításra gyakorlatilag alkalmatlan. Kis várakozási időkre alkalmas közelítő képlet: Pontos számítás lehetséges, részletek: Tankönyv p

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 5. Példa M|M|1 M|D|1 FCFS-tfeltételezve

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M/D/n – 1. M|D|n állapotegyenletek: Kiszámítás közvetlenül csak akkor, ha ismert az első: Egyébként, ezekre becslést felvéve és alkalmazva a fenti összefüggést, iterációval megoldás kapható. Van lehetőség az állapot valószínűségek pontos és közvetlen kiszámítására generátor függvényeket alkalmazva.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M|D|n – 2. M/D/n, FCFS – várakozási idő eloszlása Van pontos képlet, de … (Crommelin) Zárt formájú, kis várakozási idők számítására alkalmas képlet:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Állandó tartásidő, M|D|n – 3. Átlagos várakozási idő W az összes igényre: Közelítő képlet: (Molina) Minden korlátlan számú várakozási hellyel rendelkező várakozásos rendszerre érvényes persze, hogy a ténylegvárakozó igények átlagos várakozási ideje: ahol:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – A csoport mindig a k. igényt fogja kiszolgálni. Erlang-k érkezési folyamat, E k |D|n – 1. Legyen n=r.k, r és k egész számok, GI bemeneti folyamat. Lefoglalási rend FIFO, ciklikusan, mindig azonos sorrendben Eltávozási sorrend = beérkezési sorrend. Adott kiszolgáló szerv mindig az éppen n. igényt fogja kiszolgálni. r k x x+k x+2k x+(r-1)k.. Lefoglalási sorrend

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Erlang-k érkezési folyamat, E k |D|n – 2. Így a várakozási idő eloszlása szempontjából az M/D/r.k, FCFS rendszer egyenértékű az E k /D/r, FCFS rendszerrel. E k /D/r tehát számítható M/D/n táblázatokból. Így rendszert kapunk. A az eredeti bemeneti folyamat, azaz a beérkezési idő eloszlás, k-szoros konvolúciója. Így rendszert kapunk. A az eredeti bemeneti folyamat, azaz a beérkezési idő eloszlás, k-szoros konvolúciója. Van tehát k darab rendszer. Ha GI Poisson folyamat, akkor Erlang-k beérkezési folyamat. The assumption about cyclic hunting of the servers is not necessary within the individual systems. State probabilities, mean waiting times etc. are independent of the queueing discipline, which is of importance for the waiting time distribution only.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Véges rendszer – M|D|1|k – 1 A várakozási helyek száma mindig véges a gyakorlatban. Állapotvalószínűségek: (Volt már M/G/1/k kapcsán !) aholés A > 1 esetében is alkalmazható eljárás: Tankönyv old.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-1 – Véges rendszer – M|D|1|k – 2 Lásd még: Traffic shaping Example : Leaky Bucket Leaky Bucket is a mechanism for control of cell (packet) arrival processes from a user (source) in an ATM–system. The mechanism corresponds to a queueing system with constant service time (cell size) and a finite buffer. If the arrival process is a Poisson process, then we have an M/D/1/k system. The size of the leak corresponds to the long-term average acceptable arrival intensity, whereas the size of the bucket describes the excess (burst) allowed. The mechanism operates as a virtual queueing system, where the cells either are accepted immediately or are rejected according to the value of a counter which is the integral value of the load function (Fig. 10.1). In a contract between the user and the network an agreement is made on the size of the leak and the size of the bucket. On this basis the network is able to guarantee a certain grade-of-service.