A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése (A COCO LP feladatai és megoldási lehetőségei) Dr Bánkuti Gyöngyi Kaposvári Egyetem Matematika és Fizika Tanszék, egyetemi docens Dr Pitlik László Szent István Egyetem TATA Kiválósági Központ és Informatikai Intézet, Információtechnológiai Tanszék, vezető

Hogy kerül a csizma az asztalra ? VIII. Alkalmazott Informatika Konferencia Kaposvári Egyetem 2010. január 22. Gazdaságinformatika szekció II., 48. előadó13:30 Elnök: Dr Bánkuti Gyöngyi

Bevezetés a COCO alapgondolatába: m – változók száma n – adataink száma Az adatbázis: m Független változók: Függő változó: n ? Vektorosan:

A közismert regresszió egy interpretációja yxi - rész becslő függvények ci - konstansok c(m-1) Xm-1 X(m-1)max. X1max. c1 x1 x2 X2max. c2 Xm max. cm xm … Xm-1 X(m-1)max. yx (m-1) xm Xm max. yxm X1max. yx1 x1 x2 X2max. yx2 …

Módosítás: Lépcsős függvény multiplikátorok ci – lépcsős függvények yxi - rész becslő függvények c2 x2 c1 cm-1 cm … xm x1 Xm-1 yxm yx2 yx(m-1) yx1 … xm x1 x2 Xm-1

Lépcsős függvény multiplikátorok numerikusan Természetesen adódik, hogy n legyen a felosztás száma. xm

ci .xi együttkezelése si - lépcsős függvény! Közelítése lépcsős függvénnyel Új ötlet! xi - csak változó! x1 x1 s1  X 1

si - lépcsős függvény! xi - k csak változók! … … Lépcsők S1(x1) x2 sm-1 … Sm  s1  s2  xm X 1 x1 X m-1 X m X 2 Xm-1

További ötlet: sorszám transzformáció Az alapadatok nagyság szerinti sorba rakása xi -k nem változnak ez csak a függő változókban történő transzformációt jelent! Ez a modellben hogyan jelentkezik ? !! ( 2010.17.0. 00.06.) !!

Sorszámozási példa Excelben: Növekvő sorszámozás Csak y tengely menti nyújtás zsugorítás Csökkenő sorszámozás + X tengelyre történő tükrözés és eltolás is

A sorszámozás használat okai és elemzése: Az Fkeres függvény „könnyebben keres”. Ok. „Az LP Solver csak pozitív egész számokat kezel” A modellben xij-k kiküszöbölődnek, helyettük + egész számok lesznek !! Mj.: Az azonos adatokat azonos sorszámmal jelöli az Excel, a következő sorszám(oka)t kihagyja

A diszkretizálás használatának problémája S1(x1) – diszkrét lépcsős függvény S1(x1) … Nx1 3 1 2 (n-1) n ? S1(x1) j j+1 Nx1 s1  Sj+1,1 Sj,1 Melyik (alsó, felső ; bal,jobboldali) értéket vegyük figyelembe a becslésnél? j X 1 X 1 Súlyozott átlagot.. ? Az lineáris, nem lépcsős fv.

A probléma megjelenése a lépcsők mátrix-ában

A becslés hibájának definiálása - - - - -

A becslés hibájának definiálása A lépcsők mennyire becslik jól yi-ket. (célfüggvény) A lépcsők mennyire becslik jól yi-ket. Lineáris hiba = = min. Legkisebb négyzetek Hiba = = min.

Csökkenő lépcső esetén A lépcsők LP feladata Csökkenő lépcső esetén

Csökkenő lépcső esetén A lépcsők LP feladata Csökkenő lépcső esetén n x m feltételi egyenlet

Modell alkotásból adódik A lépcsők LP feladata Vegyes lépcsők esetén Modell alkotásból adódik Csökkenő Határozatlan Növekvő c) d) ? ? ? ? ?

Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén: A lépcsők LP feladata Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén: Abszolút érték kellene de azt az LP nem tud kezelni. (Solverben nem lineáris modellt kell választani.)

Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén: A lépcsők LP feladata Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén: A konstans hozzáadása az optimum helyét nem, csak értékét változtatja.

(Nem Duál csak más felírás) A megoldandó LP feladat növekvő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén Primál: (Nem Duál csak más felírás) c1 x1

A megoldandó LP feladat csökkenő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén: x1

Az egyenletek a 4 esetre 0 és 0 feltételekkel: b) c) d)

Az egyenletek a 4 esetre 0 feltételekkel: b) c) d)

A megoldandó LP feladat vegyes lépcsők és lineáris hiba függvény esetén: x1 b.) c2 x2

LP feladat növekvő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén Primál: I. S11 S21 S31 S41 S51 S61 S71 S81 u11 1 -1   u21 u31 u41 u51 u61 u71 b

A „multiplikativ modell LP feladata

Az X mátrixok definiciója

LP feladat: INDULÓ TÁBLA egyenlőséges y becslési feltételek és lineáris hiba függvény

Ynxn= Ynxn mátrixok képzése Helyezés: 1 2 3 4 5 6 7 8 Sorszám: X1 X2 X2 X3 X4 X5 X6 X7 x8 Ynxn=

LP feladat: növekvő lépcső, lineáris hiba függvény

LP feladat kisebb egyenlő esetén: S  mo.

LP feladat nagyobb egyenlő esetén: Az egyenlőséges közelitése ..?... S = ( S  mo. + S  mo.) / 2 ?! S  mo.

LP feladat kisebb és nagyobb egyenlő esetén:

A legkisebb négyzetek minimuma hiba célfüggvény elemzése Legkisebb négyzetek Hiba = = min. Kvadratikus programozási feladat: Karush-Kunh-Thucker (KKT) féle feltételek esetén linearizálható: HA Q pozitív szemidefinit akkor: A kvadratikus feladat átírható lineárissá: Routh – Hurwitz kritérium: (Pozitív aldeterminánsok)

A legkisebb négyzetek minimuma hiba célfüggvény elemzése - - - - -

A legkisebb négyzetek minimuma példa célfüggvény elemzése 2-szeres szorzatok fele-fele

A legkisebb négyzetek minimuma példa célfüggvény elemzése Routh – Hurwitz kritérium: D1=2 D2=0 D3=0 D4=0 Q pozitív szemidefinit!

A kvadratikus célfüggvény pozitív definitásának bizonyítása Routh – Hurwitz kritérium: D1=1 D2=0 Dn=0 Dn=0 Q pozitív szemidefinit!

Jelenleg használatos megoldó eszközök: Excel Solver LP és nem lineáris célfüggvényeket (legkisebb négyzetek hiba függvényt is) tud Kis dimenziós feladatokra jó Max ??? X ??? Iterativ algoritmust használ Kezdőérték …? Mo = fv(kezdőérték) ? néha Nem multiplikativ 0-ról is indul Időnként feltételeket sért …? LPS Ide Csak LP megoldó nem lineárist pl. Lkn.-k (legkisebb négyzetek hiba függvényt) multiplikativ modellt, nem tud Csak pozitiv EGÉSZ ? Eket kezel (probléma transzformációja szükséges)

Az LP feladat típusok összefoglalása Legkisebb négyzetek hiba - Excel Feltétel Csak lépcső Lépcső Becslés = Y Becslés  Y Becslés  Y Cél fv: Lkn.-k Megoldás Solverrel Solver de ..? Solver Tapasztalat Robosztus, jó …? Nem szokásos Nem megy Indoklás Indirekt benne van a Becslés = Y túlhatározott Túlhatározott

Az LP feladat típusok összefoglalása Lineáris hiba – LPS IDE Feltétel Csak lépcső Lépcső Becslés = Y Becslés  Y Becslés  Y Cél fv: Lin. Megoldás Nem használt modell tipus IDE-ben nincs nem megy IDE de egyedül csak a párja nem fut le IDE gyakori (Mo + Mo )/2 átlag… Tapasztalat - Indok Hiányos modell = feltételt az IDE nem tud ?! matematikailag de intuiciónak jó ..

Az LP feladat típusok összefoglalása Multiplikativ – Lin. Hiba - Solver Feltétel Csak lépcső Lépcső Becslés = Y Becslés  Y Becslés  Y Cél fv: Lin. Megoldás Solver (Mo + Mo )/2 átlag… Tapasztalat - Indok Hiányos modell = feltételt az IDE nem tud ?! matematikailag de intuiciónak jó ..

Az LP feladat típusok összefoglalása Multiplikativ – Lkn.-k hiba - Solver Feltétel Csak lépcső Lépcső Becslés = Y Becslés  Y Becslés  Y Cél fv: Lin. Megoldás Solver (Mo + Mo )/2 átlag… Tapasztalat - Indok Hiányos modell = feltételt az IDE nem tud ?! matematikailag de intuiciónak jó ..

Megjegyzések A Multiplikativ modell A Multiplikativ modell bonyolultabb, nem szükséges, mert az additiv is a körül mozog. Solverben üres lépcsővel nem indul. Miért nem szükségesek a Becslés = Y feltételek Véletlenszerűen változtatott lépcsők esetén is a 0 hiba csak úgy jöhet létre ha teljesül a Becslés = Y feltétel Továbbfejlesztés Az elemzések fontosak a fejlesztendő saját program kialakitásához.

Köszönöm figyelmüket!