Parkettázás, csempézés A sík sokszögekkel való hézagmentes és átfedés nélküli lefedését parkettázásnak vagy csempézésnek nevezzük.

A sík síkidomokkal való hézagmentes és átfedés nélküli lefedését parkettázásnak vagy csempézésnek nevezzük

Szabályos parkettázások Szabályos sokszögekkel való lefedés esetén szabályos parkettázásról beszélünk Szabályos háromszögekkel, négyszögekkel könnyedén parkettázhatunk Szabályos ötszögekkel nem sikerülhet a parkettázás, mert három ötszög hézagot hagy, a negyedik pedig nem fér el a résben. Szabályos hatszögekkel parkezzázhatunk Szabályos n-szögekkel n>6 esetén nem lehet parkettázni, mert három csatlakozó n-szög esetén a csúcsnál találkozó szögek összege nagyobb 360°-nál. A síknak tehát pontosan három szabályos parkettázása létezik.

Parkettázás különböző sokszögekkel Ha egymástól különböző sokszögek szerepeltetését is megengedjük, újabb parkettázásokhoz jutunk. Pl.: Itáliai templom Itáliai templom a XV. századból

Parkettázás sokszögekkel és szabálytalan alakzatokkal Paralelogrammákkal, trapézokkal, sőt egészen szabálytalan alakzatokkal is lehet parkettázni.

Transzformációk, szimmetria műveletek Azok a szimmetriaműveletek (egybevágósági transzformáck), amelyek a sík egy parkettázását önmagába viszik át, a kompozíció műveletével algebrai csoportot alkotnak. Ezt a minta szimmetriacsoportjának nevezzük. A parkettázásra jellemző, hogy a minta milyen egybevágósági transzformációkkal hozható fedésbe önmagával. Ezeket a transzformációkat a minta szimmetriaműveleteinek nevezzük. A minta szimmetriaműveletei a kompozíció műveletével algebrai csoportot alkotnak.

A p1 szimmetriacsoport Minden minta szimmetriacsoportja tartalmazza két, különböző irányú eltolás összes lineáris kombinációit. Ha más szimmetriaművelet nincs, a p1 csoporthoz jutunk. ESCHER

P1 bővítései tükrözésekkel, és csúszótükrözésekkel pg pm cm Escher: Lovasok Egyiptom, Theba Asszíria, Nimroud (bronz) A p1 csoport bővíthető további szimmetriákkal, tükrözésekkel vagy csúszótökrözésekkel (tükrözés és eltolás a tükörtengelyre illeszkedő vektorral). Így jutunk a pg (a két eltoláson kívül /két, párhuzamos tengelyű/ csúszótükrözés is van), pm (tükrözés és a tükörtengelyre illeszkedő tengelyű csúszótükrözés is van), cm (tükrözés és a tükörtengellyel párhuzamos tengelyű csúszótükrözés is van) csoportokhoz.

A p2 szimmetriacsoport A két eltoláson kívül másodrendű forgatások is vannak: p2 Ilyen szimmetriája van pl. a hagyományos drótkerítésnek is. Ilyen szimmetriája van pl. a hagyományos drótkerítésnek

P2 bővítései tükrözésekkel, és csúszótükrözésekkel Pgg Pmg Egyiptom A p2 csoportot csúszótükrözéssel és tükrözéssel bővítjük. pgg (forgáspontra nem illeszkedő tengelyű csúszótükrözést is tartalmaz) pmg (forgáspontra nem illeszkedő két párhuzamos tükörtengely) cmm (két, egymásra merőleges tükörtengely, amelyek persze átmennek forgáspontokon, de van rájuk nem illeszkedő forgáspont is) pmm ( Cmm Egyiptom Pmm Egyiptom Csaknem cmm!

p3, p4 és p6 szimmetriacsoport A szabályos parkettázásnál látottakból már tudjuk, hogy másodrendű forgatásokon kívül harmadrendű, negyedrendű és hatodrendű forgások lehetnek még. Ha a minta tükrözéseket nem tartalmaz, így jutunk ap3, p4, p6 szimmetriacsoportokhoz. P3 Zakopane, utcakő P6 perzsa minta p4

Tükrözésekkel bővítve még további 5 szimmetria-csoporthoz jutunk Csomagolópapírok p4m p3m1 Ily módon összesen 17 különböző szimmetriacsoportú parkettázáshoz jutunk. p31m p4g p6m

Alaptartomány kialakítása Az alaptartomány megadása nem egyértelmű; éppen ezen múlik a fent is látott szép minták kialakításának lehetősége. Nézzük például, hogyan lehet a p1 csoporthoz egy érdekes alaptartományt konstruálni! Lássuk a példát p1-en: (…)

p1 P1

(Gyíkos kép evolúciója.) M. C. Escher: Gyíkok (Gyíkos kép evolúciója.) p3

A Gyíkok evolúciója

Forrásmunkák Források: Internet: http://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_kristallographische_Gruppe#Gruppe_pm http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group http://www.michael-holzapfel.de/themen/symmetriegruppen/17%20symmetriegruppen/tapetengruppen.htm www.mathe.tu-freiberg.de/.../escher.ht. www.math.unibas.ch/~walser/Stud.../Baeckert.pdf  Könyvek: Gyapjas Ferenc: Csoportelmélet (Középiskolai szakköri füzet, Tankönyvkiadó 1974.) Verecza László: Konkrét és absztrakt struktúrák (Tankönyvkiadó 1970) Fuchs László: Algebra (Egyetemi jegyzet 19. kiadás, Tankönyvkiadó 1985) H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai (Műszaki Könyvkiadó 1973.) Források: