Asszimptotikus viszonyok

Asszimptotikus viszonyok számításánál felhasználható ismeretek: 1.Az asszimptotikus viszonyok reláció-tulajdonságai: A következő állítások egyenesen következnek a definíciókból. F={a vizsgált függvények halmaza} Állítás: a  F  F ekvivalenciareláció, azaz 1.  f  F  f  f (reflexivitás) 2.  f,g  F:f  g  g  f (szimmetria) 3.  f,g,h  F:f  g  g  h  f  h (tranzitivitás) Állítás: ha most a függvények között  -t tekintjük egyenlőségnek, az O és  relációk részbenrendezések, azaz: 1.  f  F  fOf, illetve f  f (reflexivitás) 2.  f,g  F:fOg  gOf  f  g, illetve  f,g  F:f  g  g  f  f  g („  -antiszimmetria”) 3.  f,g,h  F:fOg  gOh  fOh, illetve  f,g,h  F:f  g  g  h  f  h (tranzitivitás)

További fontos tulajdonság az O és , illetve az  és  között fennálló következő tulajdonság: fOg  g  f, illetve f  g  g  f Állítás: A fennti megkötés mellett  a ,  pedig a  részbenrendezé- sekhez tartozó szigorú részbenrendezések, azaz  f,g  F: f  g  f  g  fOg, illetve f  g  f  g  f  g Mj.:  és  irreflexívek, szigorúan  -antiszimmetrikusak és tranzitívak Megjegyzés: A fennti jelölésekben a viszonyokat mint relációkat tekin- tettük, így természetesen például az f  g ekvivalens f=  (g)-vel. Megje- gyezzük továbbá, hogy a  (g) halmaz tulajdonképpen a g-nek  -reláció szerint vett inverzkép-halmaza.

2. Határértékkel kapcsolatos ismeretek: (1)Ha  lim f(n)/g(n)=c  \{0}, akkor f=  (g) (2)Ha  lim f(n)/g(n)=0, akkor f=  (g) (3)Ha  lim f(n)/g(n)= , akkor f=  (g) (4)Ha  lim f(n)/g(n)=c , akkor f=O(g) (5)Ha  lim f(n)/g(n)=c  \{0}  {  }, akkor f=  (g) A fennti határértékek kiszámítására alkalmazhatjuk az analízisből már ismert tételeket, mint például a L’Hospital-szabályt vagy az is- mert tétel a p(n)/q(n) típusú polinomhányados határértékének kiszá- mítására.

Konkrét példa Most lássuk konkrét példaként a következő függvények rendezését: 5n n +1 ln(n 2 ) 2 n (n+1)log 2 (n) n n log 2 (n) A feladat megoldásában a tranzitivitást és a határértékekre vonatkozó állításokat fogjuk felhasználni.

A logaritmusok rendezése ln(n 2 ), (n+1)log 2 (n), log 2 (n) ln(n 2 ) log 2 (n) = 2ln(n) ln(n)/ln2 =2ln2  2ln2 konstans n  Köv.: ln (n 2 )=  (log 2 (n)) (n+1)log 2 (n) log 2 (n) =n+1    n  Köv.: log 2 (n)=o((n+1)log 2 (n)) Azaz: log 2 (n)~ln(n 2 )<<(n+1)log 2 (n)

N- és kettőhatványok 2 n n +1 = 2*2 n n +1 = n +1  2 konstans n  Köv.: 2 n =  (2 n +1) 5n n  0 konstans, mivel a számláló kitevője kisebb (analízis) n  Köv.: 5n =o(0.1n ) 0.1n n Köv.: n =o(0.1n )  , mivel a számláló kitevője nagyobb (analízis) n  5n n Köv.: 5n =o(n )  0 konstans, mivel a számláló kitevője kisebb (analízis) n  Tehát: 5n << n << 0.1n

Végül hasonlítsuk össze a különböző kategóriákat és a tranzitivitást felhasználva adjuk meg a végső rendezést. Ehhez előbb el kell vé- geznünk néhány határérték számítást. Annyi egyszerűsítést azért megengedünk magunknak, hogy feltesszük a következő egyszerű állításokat, amik analóg módon bizonyíthatóak az eddigiek alapján: (n+1)log 2 (n)=  (nln(n)), a*n b +c=  (n b ), 2 n +1=  (2 n ) lim nln(n) 2n2n = lim ln(n)+1 ln2*2 n = lim 1/n (ln2 )2* 2 n  0 konstans n  L’Hospital-szabály lim nln(n) n 1.01 = lim ln(n) n 0.01 = lim n -1 cn  0 n  L’Hospital-szabály lim n c = lim nln(n) n 0.02 = lim ln(n) n = lim n -1 cn    n  L’Hospital-szabály lim 1 cn =

lim ln(n) n 0.01 = lim n n = lim n  0 konstans n  L’Hospital-szabály Eredmény: ln(n 2 ) ~ log 2 (n) << 5n << n << (n+1)log 2 (n) << << 0.1n << 2 n +1 ~ 2 n ■ Készítette: Alagi Gábor,