Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév 4. téma Első típusú felületi integrálok értelmezése és kiszámítása. Felületek tengelyre vonatkozó inerciája. Második típusú felületi integrálok. Példa. Vektormező divergenciája, forrás és nyelő értelmezése. Zárt felületi integrálok és a térfogati integrálok kapcsolata: Gauss – Osztogradszkij – tétel. Stokes-tétel. j PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Első típusú felületi integrál értelmezése Legyen adva egy F felület paraméteres alakban és egy f(r) skalárrmező Osszuk fel az F felületet F1, F2, …, Fn n részre, amelyek felszíne rendre ∆S1, ∆S2,…, ∆Sn. Válasszunk mindegyik Fk felület darabon egy közbenső Pk pontot! Képezzük az alábbi összeget Definíció: Ha létezik az Sn összegeknek a határértéke n →∞ és feltételek mellett, akkor ezt a határértéket nevezzük az f(r) skalármező r(u,v) felületre vonatkozó első típusú felületi integráljának. j Jelölése PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Felületek tengelyre vonatkozó inerciája Ha egy F(u,v) felület darab valamely L tengelyre vonatkozó nyomatékát szeretnénk meghatározni, akkor legyen a felület P(x,y,z) pontjának távolságnégyzete az L tengelytől D2(x,y,z) Jelölje ρ(x,y,z) a felület sűrűség eloszlását (egységnyi felületre jutó tömeg) Ha képezzük a felület felosztására az összeget, akkor ez az átlagos tengelyre vonatkoztatott nyomatáka a felület darabnak. Ennek a határértéke lesz a felület nyomatáka az adott L tengelyre, amely egy első fajú felületi integrál Például a homogén felület tengelyekre vonatkozó inerciája az alábbi képlettel számolható j PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Első típusú felületi integrálok számítása kettősintegrállal Ha a felület r (u,v) : x=x(u,v), y=y(u,v) és z=z(u,v) paraméteres előállításában a függvények folytonosan parciálisan differenciálhatók az u u és v paraméterek szerint, akkor az első típusú felületi integrált kiszámíthatjuk az alábbi (u,v)-szerinti kettős integrállal ahol jelöli a felület normál vektorának hosszát! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Második típusú felületi integrálok előkészítése Cél: adott felületen áthaladó erővonalak mennyiségének meghatáro-zása általános felület és általános vektormező esetén! Gyakorlati példák: elektromos fluxus, felületen átáramló folyadék mennyisége Egy egyszerű eset: (a) az F felület sík, melynek normál vektora n, (b) az áramlás v(r) sebessége = állandó A kiáramló anyagmennyiség, ha a folyadék összenyomhatalan PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Második típusú felületi integrálok definíciója PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Második típusú felületi integrálok definíciója PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Második típusú felületi integrálok számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa második típusú felületi integrálra PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Divergencia fogalma, fizikai jelentése 1. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Divergencia fogalma, fizikai jelentése 2. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Gauss- Osztogradszkij-tétel. Példa: Maple-ben Gauss.mws fileban PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Stokes-tétel. Legyen a vektormező és parciális deriváltjai az F irányított felületdarabon és annak G zárt görbével megadott határán folytonos. Ekkor Tehát a v(r) vektormező rotációjának felületi integrálja megegyezik a felület határán vett vonalintegrállal! Feltételek: F normálvektorának irányítása olyan, hogy G irányítása az óramutató járásával ellentétes, ha az n normálvektor végpontjából nézzük. Példa: Maple-ben Stokes_szemleltetes.mws fileban PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály