PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév 2. téma Görbék derivált vektora. Görbék érintője. Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. Görbék ívhossza. Felületek megadási módja. Felületek érintő síkja. Felületek felszíne.

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Görbék derivált vektora Animáció 1. Definíció: Az vektor – skalár függvény a t 0 helyen differenciálható, ha létezik a határérték. Ezt a határértéket a t 0 helyen vett differenciálhányados-vektornak nevezzük Jelölések Kiszámítás 2 dimenziós esetben Érintő vektor Derivált vektor keletkezése

Görbék érintőjének meghatározása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 2 dimenziós eset 3 dimenziós eset Az érintő egyenes egyenletrendszere Húzzunk érintőt a pontban az görbéhez! Az érintő egyenes vektor egyenlete Húzzunk érintőt a pontban az görbéhez! Az érintő egyenes egyenletrendszere Az érintő egyenes vektor egyenlete

Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Ha egy anyagi pont pályája, akkor sebességvektora és gyorsulás vektora PÉLDA. Egyenletes szögsebességgel forgó mozgás Helyvektor A sebességvektor a mozgás első derivált vektora A gyorsulásvektor a mozgás második derivált vektora A sebességvektor és a gyorsulásvektor most egymásra merőlegesek, mert skaláris szorzatuk 0.

Legyen az r = r (t) görbe folytonosan differenciálható a [t 0,t 1 ] intervallumon! Görbék ívhossza PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 2. Definíció: Görbe ívhosszán a beírt poligonok összhosszának határértékét értjük, midőn a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ha létezik a határérték és véges, akkor azt mondjuk, hogy a görbe rektifikálható. 3 dimenziós esetben 2 dimenziós esetben Polárkoordináta - rendszerben

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Az ívhossz, mint paraméter Számoljuk ki az ívhosszat a [t 0,t] interval- lumon, ahol a felsőhatár változik! Az ívhossz t-szerinti deriváltja pozitív! A görbe helyvektora a t paraméterrel! A görbe helyvektora az s ívhossz paraméterrel! A derivált vektor hossza 1 lesz, ha a paraméter az s ívhossz! Tehát s(t) szigorúan monoton növekvő függvény. Ezért létezik az inverze!

Példa: csavarvonal ívhossza. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály A csavarvonal helyvektoraA csavarvonal derivált vektora A csavarvonal ívhosszának számítása A t paraméter az s ívhossz függvényében A t paraméter helyére az ívhosszat tesszük paraméterként A görbe deriváltja ívhossz szerint Az ívhossz szerinti derivált vektor hossza 1

Felületek megadási módja PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Explicit alakImplicit alakParaméteres alak PÉLDA: Egység sugarú gömbfelület különböző megadási lehetőségei

Felületek érintő síkja paraméteres esetben PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Sík egyenlete általánosan TÉTEL Ha r(u,v)= [ x(u,v), y(u,v), z(u,v) ] a felület paraméteres alakjában az x, y és z két- változós függvények parciális deriváltjai folytonosak, akkor az érintősík normálvektora ha az n vektor nem a nullvektor. A normálvektor számítása paraméteresen adott felületek esetén az érintési pont a sík normálvektora

Bizonyítás Belátjuk, hogy tetszőleges felületre rajzolt görbe érintő vektora merőleges a tételben adott n normálvektorra, azaz mindig egy síkban vannak az érintő vektorok. Az összetett függvény deriválási szabálya alapján A merőlegesség bizonyításához megmutatjuk, hogy a skaláris szorzat nulla! Felületek érintő síkja paraméteres esetben Ahol felhasználtuk, hogy a vektoriális szorzat merőleges mindkét tényezőjére. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Az r(x,y)=[x, y, z(x,y) ] explicit alakú felületnél a paraméterek u=x és v=y Felületek érintő síkja explicit esetben Az érintősík egyenletére a kétváltozós függvényeknél megismert formula adódik. A vektoriális szorzat A normál vektor PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Legyen adva a felület F(x,y,z)=0 implicit alakban. = Ekkor tetszőleges P 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) pont környezetében az egyik változó általában kifejezhető a másik kettővel, mint független változóval. Legyen pl. z a függő változó: z=z(x,y). Felületek érintő síkja implicit esetben lokálisan a P 0 pont környezetében Deriváljuk x és y –szerint a fenti egyenletet és használjuk a láncszabályt! érintősík normálvektor PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

DEFINÍCIÓ Az r(u,v) paraméteresen adott felület felszínét a T tartomány felett a következő határértékkel értelmezzük, ha létezik. Osszuk fel háromszögekre a T tartományt és vetítsük a háromszögeket a felületre! A kapott háromszögfelosztás területének összege közelíti a felület felszínét. Finomítsuk a háromszögfelosztást minden határon túl. Ha létezik a térbeli poliéderek összterületének határértéke, akkor ez lesz a felület felszíne. Elemi felület felszíne Ezeket összegezve a T tartomány feletti kettősintegrált kapunk T Felületek felszíne

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály T Explicit alakban Alakítsuk át a normálvektor hosszának négyzetét! DEFINÍCIÓ. Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek Így a felszín képlet T

Példa: a gömb felszínének számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály T d       d                 u ()r,uvx           v ()r,uvuv Felszín = = = = A gömb paraméteres alakja Vektoriális szorzat Parciális deriváltak

Példa: tórusz felszínének számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 0< b < a 0< u < 2 p 0< v < 2 p A tórusz paraméteres alakja E = = = G =F = Parciális derivált u-szerint Parciális derivált v-szerint

Példa: tórusz felszínének számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály = =