5. VÉGTELEN HALMAZOK 5.1 Kiválasztási axióma Másképp: nemüres halmazok bármely családjának a szorzata nem üres.

B  A, mert  : B A, (x) := 2x, bijekció, és Def Rövidítés: B majorálja A-t. Ha B majorálja A-t, de nem ekvivalensek, akkor B szigorúan majorálja A-t. Példa: Legyen B:= Z, A:= 2Z (páros számok halmaza). B  A, mert  : B A, (x) := 2x, bijekció, és 2

Schröder-Bernstein-tétel Kérdések: 3 trivi trivi igaz, nem biz. igaz, nem biz. Schröder-Bernstein-tétel Cantor-tétel

Schröder-Bernstein-tétel: Biz. Feltehetjük, hogy X, Y diszjunkt halmazok és legyen f: X  Y, g: Y  X injektív függvény. Utódok (ősök) sorozata: x  X esetén f(x), g(f(x)), f(g(f(x))), … végtelen árvába torkollik „Árva” : olyan X \ g (Y) vagy Y \ f(X) beli elem, amelynek nincs „őse” a másik halmazban. 4

Legyen XX = X \ g (Y)  { az X \ g (Y)-beli elemek X-beli utódai } Legyen XY = { az Y \ f(X)-beli elemek X-beli utódai } Legyen X = { X-beli elemek, amelyeknek nincs árva őse } f(XX) = YX XX g1(XY) = YY XY f(X) = g1(X) = Y X 5

5.1.11. 5.1.12. Biz. f bijektív és y  X : f(y) = Y  y  Y 6 5.1.12. Biz. f bijektív és y  X : f(y) = Y  y  Y y  Y = f(y)

5.2 Megszámlálható halmazok 7

X nem lehet végtelen, mert Biz. Ha X véges   X nem lehet végtelen, mert lenne  többi trivi 8

Biz. 9

Biz. esetén legyen bijekció f : 10

Diszjunkt halmazokat csinálunk: Biz. A = A1  A2  … Diszjunkt halmazokat csinálunk: A1’ = A1 , A2’ = A2 \ A1’ , A3’ = A3\ (A1’  A2’) ... 11

3. Ai’  Aj’ =   olyan i, j esetén, ahol i  j. 12 Ai’ halmazokra igaz: 1. Ai’  Ai  i -re. 2. A = A1’  A2’  ... . 3. Ai’  Aj’ =   olyan i, j esetén, ahol i  j. Feltétel  Ai’ halmazok sorbarendezhetők : A1’ = { a11, a12, a13, ...}, A2’ = { a21, a22, a23, ...}, A3’ = { a31, a32, a33, ...},

Biz. Z = N+  {0}  N 5.2.6 Tétel  megszámlálható  is 13

diszjunktság miatt helyettesítsük X-et X \ Y-nal Biz. diszjunktság miatt helyettesítsük X-et X \ Y-nal Legyen Z  Y megszámlálható végtelen, f : Z  X  Z bijekció, és g : Y  X  Y bijekció ! 14

4. fejezet  nem lehet ekvivalens saját valódi részhalmazával Biz. Tfh Y véges 4. fejezet  nem lehet ekvivalens saját valódi részhalmazával Tfh Y végtelen, x  Y , és legyen Z = { x }, X = Y \ Z Y = X  Z ~ X tétel végtelen megszámlálható 15

5.3 Nem megszámlálható halmazok Biz. 16

A N-en értelmezett karakterisztikus függvénye 17 Biz.* A N-en értelmezett karakterisztikus függvénye f leképezés N összes véges részhalmaza: megszámlálható sok N összes végtelen részhalmaza f bijekció

Lemma. nem megszámlálható számosságú. Biz. Előzőekből tudjuk: (0,1)  [0,1)[0,1] R. Legyen A = {x xR, 0  x < 1}. Probléma: a szokásos módon nem tudjuk leírni a 0 egészrészű számokat: 0,1999999999999999... 0,2000000000000000...  vizsgálatunk tárgya: B = {xx 0-val kezdődő tizedestört, és nem tartalmaz valamely helytől kezdve csupa 9-est}. 18

Próbáljuk meg B halmazt sorbarendezni ! x1 = 0,a11a12a13 ... x2 = 0,a21a22a23 ... x3 = 0,a31a32a33 ... ... y = 0,b1b2b3 ... bk  akk, bk[0..8] . y[0, 1) és y B , de y  xi ! 19

megszámlálható végtelen Biz. = X megszámlálható végtelen 20

ZFC-ben egyik sem cáfolható és egyik sem bebizonyítható! Kontinuumhipotézis: 21 Nem létezik olyan X halmaz, amire N X (N). Általánosított kontinuumhipotézis: Tetszőleges Y halmazra nem létezik olyan X halmaz, amire Y X (Y). Válasz: ZFC-ben egyik sem cáfolható és egyik sem bebizonyítható! Gödel 1939 Cohen 1963