A GEOMETRIA MODELLEZÉSE Dr. Horváth László

Polinomok

A görbe lokális tulajdonságai A lokális tulajdonságot a görbe mentén pontról - pontra változó érintő (t), főnormális (n) és binormális (b) határozzák meg. Az ezek egységvektoraiból képezett derékszögű koordináta- rendszer a kisérő triéder. A kisérő triéder t és n vektorai a simulósíkot, b és t vektorai pedig a normálsíkot határozzák meg. További lokális tulajdonság a görbület, amely az egyenestől való eltérés definiálására szolgál.

A görbe létrehozásának feladata alapvető követelményként megadott szabályszerűség követését, valamely pontokon való áthaladást, vagy valamely pontok harmonikus alakot eredményező közelítést tűzhetjük ki. Ennek megfelelően analitikus, interpolációs és közelítő (approximációs) görbék hozhatók létre.

Egy darabban vagy részekből A görbe leírható egyetlen görbeként vagy összekapcsolható görbeszegmensekből. Bezier görbe: egybefüggő, bár éppen ennek hátrányainak kiküszöbölésére alkalmazzák Bezier görbék láncolatát egy adott görbe leírásánál. B-szplájn görbe: szegmensekből épül fel.

Interpolációs módszerek Kísérleti úton vagy számítással előállított pontokon átmenő görbe előállítása. Lineáris interpoláció: két-két pontot egyenes szakaszokkal kötnek össze Három ponton körív vezethető át Négy ponton átvezetve harmadfokú görbét kapunk A pontokra illesztés legismertebb módszere Lagrange nevéhez fűződik, Lagrange interpolációként ismert. Francia matematikus Az interpolációs feladat matematikai megoldásához interpolációs polinomok. Ezek közül a Lagrange polinom a legegyszerűbb. A Hermite interpoláció görbe fektetését jelenti két pont közé, a két pont és a két pontnál megvalósítandó érintő alapján. A Hermite féle módszert alkalmazta Ferguson és Coons

Bezier görbék A görbék pontokból és érintővektorokból kiinduló meghatározása a gyakorlati alkalmazás számára nehézkes. Paul Bezier: vezérlő sokszöget vezette be, amelynek csúcspontjainak helyzete a görbe alakját vezérli (irányítja). Vele egyidőben, ugyanilyen módszerrel valósított meg görbetervezést de Casteljau. A Bezier alapvető jellemzői: a globális vezérlés, a görbének a vezérlőpontok számával összefüggő fokszáma, a görbének az első és utólsó vezérlőponton való áthaladása, a vezérlő sokszög első és utólsó szegmensére való érintőlegessége.

Konvex burok A Bezier görbe fontos tulajdonsága, kogy a vezérlő sokszög által lefedett úgynevezett konvex burkon belül helyezkedik el, amely az ábrán a vonalkázott területnek felel meg.

BEZIER GÖRBE

Bezier Görbék

Szegmentált görbék

A B-szplájn görbék jellemzõi Lokális vezérlés, az alapfüggvény fokszámával összefüggõ, a vezérlõpontok számától független fokszámo és szplájn alapföggvények. A B-szplájn görbe nem megy át az elsõ és az utólsó vezérlõponton, azonban megfelelõ módosulata átvezethetõ ezeken a pontokon. A B-szpájn görbe szegmensekbõl áll. Folytonosság a szegmensek határán, amely az alapfüggvények fokszámától függ. A folytonosság követelménye befolyásolja a fokszám megválasztását. A szegmensek határán másodrendû (C2) folytonosságot köbös B-szplájn függvények biztosítanak.

B-SZPLÁJN

SZEGMENTÁLTSÁG A B-szpájn alapfüggvényt meghatározott paraméter-intervallumon belül definiálják. Az alapfüggvény a B-szplájn görbe paramétertartományának csak egy részén vezéreli a görbét. Egy vezérlõpontot elmozdításának hatására a görbe csak ennek a környezetében, néhány szegmensre kiterjedõen módosul.

CSOMÓVEKTOR