Modellezés és tervezés c. tantárgy Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Intelligens Mérnöki Rendszerek Intézet Mérnöki Informatikus MSc 4. Előadás A geometria leírása modelltérben 2/2. rész Dr. Horváth László egyetemi tanár

Tartalom Racionális B-szplájn görbék B szplájn görbék tulajdonságai Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI uni-obuda.hu/lhorvath/

B szplájn görbék P(u) aB-szplájn görbe analitikusdefiniciója  P = P i i=1 n uNu ik , ahol a vezérlőpontok   P:i=1,..., i n A szegmensek rendűsége k, fokszáma k-1 N i,k (u) B-szplájn alapfüggvény: B-szplájn alapfüggvények hatása Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI uni-obuda.hu/lhorvath/

Racionális B-szplájn görbék A racionális polinomok alkalmasak analitikus görbék egzakt leírására is. A paraméteres leíró függvényeket két polinom arányaként adják meg. A függvény a súlyozástól függően leírhat egyenest, ellipszist, parabolát vagy hiperbolát. A racionális függvényekkel leírt görbék egyik előnye a jó lokális (helyi) módosíthatóság. A racionális B-szplájnok egyeduralkodóvá váltak. A gyakorlatban a nem-egyenközű, racionális B-szplájn (NURBS, non-uniform, rational B- spline) görbék és felületek alkalmazása terjedt el. A NURBS az egységes geometria alapvető matematikai leírásává vált. Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI uni-obuda.hu/lhorvath/

Racionális B-szplájn görbék A háromdimenziós Euklideszi tér () Pxyz,, pontjának a négydimenziós homogén térbena () Qwxwywzww w =, ahol,,, ³ 0 leírás felel meg. Aw a homogén koordináta, amelyet súlyozásnak is nevezünk. Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI uni-obuda.hu/lhorvath/

Racionális B-szplájn görbék A homogén koordináták a racionálisB-szplájnok leírásánál.  QuNuV w ik i n i w   , 0 ahol Q w (u) a görbe pontja négydimenziós homogén koordinátákkal kifejezve:  Quwuwuwuw w xyz ,,, N i,k (u) aszplájn alapfüggvény,V pedig a vezérlőpont a négydimenziós homogén térben: V V w VwV i i w i i w ii  ahonnan Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI uni-obuda.hu/lhorvath/

Racionális B-szplájn görbék A görbe pontját a háromdimenziós térben az első három koordinátának a homogén koordinátával való elosztásával kapjuk meg: x w w y w w z w w x y z    Ezután a racionálisB-szplájn görbe függvénye    Qu NuwV NuV ik i n ii ik i n i =,,     0 0 Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI uni-obuda.hu/lhorvath/

Racionális B-szplájn görbék Nem-egyenközű recionális B-szplájn görbe: Valamennyi alak leírására Analitikus alak egzakt (nem közelítő!) Az alakmodellezésben egyeduralkodóvá vált (CAD/CAM rendszerekben is) A racionális B-szplájn görbéket a csomóvektor és a súlyvektor jellemzi. Például öt vezérlőpontot közelítő görbe csomóvektora   és w súlyvektora [1, 4, 1, 1, 1  Analitikus görbék leírásánál a w értéke meghatározza, hogy egyenes, ellipszis, parabola vagy hiperbola az adott szegmens. Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI uni-obuda.hu/lhorvath/