Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény 15 20 Alapanyag-szükséglet 3 2 x, y  0 /db 1000x+800y -400x-300y Normaóra kapacitás: 1440/év Beszerezhető alapanyag: 240/év Fel nem osztott költségek: 3200/év B-ből eladható: maximum 50/év 15x + 20y  1440 3x + 2y  240 y  50 -3200 Feladat: Határozzuk meg az évi maximális nyereséget biztosító termelési tervet! Modell: A-ból x-et termelünk, B-ből y-t.

Tehát a megoldandó a következő matematikai feladat: 15x + 20y  1440 3x + 2y  240 y  50 . x, y  0 . 1000x + 800y – 400x – 300y – 3200 = 600x + 500y – 3200  max feltételek célfüggvény Ezzel ekvivalens feladat: ugyanezen feltételek mellett a 600x + 500y célfüggvény maximumát keressük. Megoldás: később.

Definíció. Az olyan feltételes szélsőérték-feladatokat, amelyben a feltételek lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek, és egy lineáris függvény szélsőértékét keressük, lineáris programozási feladatnak nevezzük Általánosítások: Ha a feltételek lineárisak, de a célfüggvény nem, akkor nemlineáris programozási feladatról beszélünk. a x+b Pl. hiberbolikus programozási feladat célfüggvénye alakú. c x+d Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrendszert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfüggvény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük.

Kétváltozós LP-feladat grafikus megoldása Lineáris egyenlőtlenség megoldása 3x + 2y  6 Először ábrázoljuk a megfelelő egyenlet megoldásait, pl. tengelymetszet segítségével: 2 3 Utána el kell dönteni, hogy melyik félsík lesz az egyenlőtlenség megoldása. Ez legegyszerűbben behelyettesítéssel történhet. Pl. origó: 3·0 + 2·0  6 teljesül Az a félsík a megoldás, amiben az origó van.

Egyenlőtlenség-rendszer megoldása: Tekintem az egyes félsíkok metszetét. Ez lehet: Üres halmaz Egyetlen pont Szakasz Félegyenes Egyenes Konvex sokszög Nem korlátos konvex “sokszög”

1. feladat. Oldjuk meg az előzőleg felírt feladatot 15x + 20y  1440 3x + 2y  240 y  50 . x, y  0 . 600x + 500y  max 1 2 3 600x + 500y = c  max 1 6x + 5y = c/100  max 2 50 3 Itt van az optimum! Ha pontos az ábra (vagy számolás): x = 64, y = 24 80

2a. Oldjuk meg az alábbi LP- feladatot: 3x + 2y  6 -x + y  4 5x + 8y  40 x – 2y  4 . x, y  0 . 2x + y  max 1 2 3 2 3 1 4 4 Itt van az optimum! 2x + y = c  max y = -2x + c és c  max A –2 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális Optimum koordinátái: 3 és 4 egyenletből: x = 10/9, y = 56/9

2b. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x + 16y  max célfüggvénnyel! 3 2 3 1 4 4 Itt van az optimum! 10x + 16y = c  max y = -5/8 x + c és c  max A –5/8 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális Optimum egy szakasz! Végtelen sok megoldás!

2c. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x + 16y  min célfüggvénnyel! 3 2 3 1 4 4 10x + 16y = c  min Itt van az optimum! y = -5/8 x + c és c  min A –5/8 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke minimális Optimum koordinátái: x = 2, y = 0

2c. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x –5y  min célfüggvénnyel! 3 2 3 1 4 Itt van az optimum! 4 10x – 5y = c  min y = 2x – c és c  min y = 5/8 x + (– c) és - c  max A 2 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és -c értéke maximális Optimum koordinátái: x =0, y = 4

3a. Oldjuk meg az alábbi LP-feladatot! 2 x + 2y  4 -x + y  4 x – 3y  3 . x, y  0 . x + y  min 1 2 3 1 Végtelen tartomány! Itt van az optimum! 3 x + y = c  min y = -x + c és c  min A -1 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke minimális Optimum koordinátái: x =0, y = 2

3b. Oldjuk meg az előző LP-feladatot az x + y  max célfüggvénnyel ! 2 x + 2y  4 -x + y  4 x – 3y  3 . x, y  0 . x + y  max 1 2 3 1 Végtelen tartomány! 3 x + y = c  max y = -x + c és c  max A -1 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális A célfüggvény felülről nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán.

4. Oldjuk meg az alábbi LP-feladatot! x + 2y  6 -x + y  2 x – 3y  3 . x, y  0 . x + y  min 1 2 2 3 1 3 Üres tartomány! A feladatnak nincs lehetséges megoldása sem.

Láttuk, hogy egy lineáris programozási feladat esetén a következő lehetetőségek fordulhatnak elő: a lehetséges megoldások halmaza üres; van lehetséges megoldás, de a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán; van lehetséges megoldás, és a célfüggvény korlátos is a kívánt irányból; ekkor kétféle eset lehetséges egyetlen optimum van; több (végtelen sok) optimum van.