Statisztika II. VI. Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Regresszióanalízis Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Regresszióanalízis A regresszióanalízis során feltételezzük, hogy: y az x minden értékénél normális eloszlású, vagyis az ei mérési hibák N(0,s2) normális eloszlásúak; Var(y) = konstans, illetve y-nak vagy x-nek ismert függvénye; a különbözõ i mérési pontokban elkövetett mérési hibák egymástól függetlenek; Y(x) = f(x, a,b,g, ...) az ismert vagy feltételezett függvénykapcsolat alakja, ahol a, b, g a függvény konstansai (paraméterei). Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Regresszióanalízis A regressziószámítás célja: Gazdasági, társadalmi folyamatok Modellként való kezelése A jelenség statisztikai megfigyelése Tendenciák becslése Hipotézisek tesztelése A (megbízható) modell alkalmazása Hatásvizsgálat, Előrejelzés Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Regresszióanalízis Y=f(x1, x2,…,xn, ) Y=f(x) A regressziószámítás során feltételezzük, hogy az eredményváltozónk (y) sztochasztikus kapcsolatban áll a magyarázó változóval , amelyet a következőképpen jelölünk: Y=f(x1, x2,…,xn, ) Kétváltozós estben pedig: Y=f(x) Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Regresszióanalízis meg kell határozni a regresszió típusát, ehhez azonban szükséges az adott terület szakmai ismerete is. Az alábbi függvénykapcsolatokat használjuk a leggyakrabban: lineáris regresszió: y=0+1*x hatványkitevős (multiplikatív) regresszió: y=0*x1 exponenciális ) regresszió: y=0*1x parabolikus regresszió: másodfokú egyenlet hiperbolikus regresszió. A függvény paramétereit a legkisebb négyzetek módszere segítségével határozzuk meg, vagyis: S=(yi-y’i)2 minimum. Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Ezt behelyettesítve S-egyenletébe a következőt kapjuk: Regresszióanalízis Lineáris összefüggés esetén a függvényünk: y=0+1*x vagy y=a+b*x Ezt behelyettesítve S-egyenletébe a következőt kapjuk: S=(yi-0-1*x)2 A függvénynek ott van minimuma, ahol a két együttható szerinti parciális differenciahányadosa egyenlő nullával. Az egyenlet levezetéséből azt kapjuk, hogy: Dr. Szalka Éva, Ph.D.

A lineáris függvények paramétereinek konfidencia intervalluma Dr. Szalka Éva, Ph.D.

A lineáris függvények paramétereinek konfidencia intervalluma Ha nem ismerjük az alapsokaság szórását, akkor a reziduumok szórását használjuk a standard hiba kiszámításához: Dr. Szalka Éva, Ph.D.

A lineáris függvények paramétereinek konfidencia intervalluma A valószínűségi intervallum pedig Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Korreláció A lineáris kapcsolatok szorosságának legjellemzőbb mutató száma a korrelációs együttható (r). Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Hatványkitevős regresszió y=0*x1 Megoldásához linearizálni kell a regressziós függvényt. lgy=lg0+1*lgx Vezessünk be új ismeretleneket: lgy=Y; lgx=X; lg0=B Így a függvényünk már lineáris: Y=B+1*X A regressziós együtthatók így már a tanultak szerint számíthatók Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Regresszióanalízis Az eredményváltozó relatív változásának fontos szerepe van a közgazdasági elemzésekben. A relatív változást fejezi ki a rugalmassági együttható: Az x-magyarázóváltozó adott értékének 1%-os növekedése átlagosan milyen változást eredményez az y-változó értékében. Ez az érték természetesen minden x-értékre kiszámítható: Dr. Szalka Éva, Ph.D.

Választás a különböző regressziós egyenlet-típusok közül Ugyanarra az adatsorra kiszámolva mindhárom regressziós függvényt, felvetődik a kérdés, hogy melyik jellemzi legjobban a változók kapcsolatát. A függvények kiválasztáshoz az egyenletek illeszkedési módszerét, azaz a legkisebb eltérések-négyzetét használjuk. Az az egyenlet illeszkedik legjobban az adatokra, ahol az és az is a legkisebb, illetve ahol a kapcsolat szorosságát kifejező mutató a legnagyobb. Dr. Szalka Éva, Ph.D.