3. kisvizsga Mi a lineáris programozás? Mi az optimális pont a minimalizálási problémában? Mi a lineáris programozásban az optimális megoldások halmaza? Határozza meg, milyen értékek kerülnek fel a munkalapra a Solver-modellben? A Solver programban „kiszámított”, vagy „eredeti” értékkel keressük a megoldást? 2 pont helyes válaszonként Kundi Viktória, Phd hallgató

Alkalmazott operációkutatás Dualitás Alkalmazott operációkutatás 4. előadás 2008/2009. tanév 2008. február 18. Kundi Viktória Kundi Viktória, Phd hallgató

Lineáris programozási feladat duálisa/duálja P R I M Á L D U Á L Kundi Viktória, Phd hallgató

Lineáris programozási feladat duálisa/duálja Primál maximum feladat Kundi Viktória, Phd hallgató

Lineáris programozási feladat duálisa/duálja Duál minimum feladat Kundi Viktória, Phd hallgató

Duál feladat felírása I. A Dakota Bútorkészítő Cég íróasztalokat, asztalokat és székeket gyárt. Mindegyik bútortípus gyártásához faanyag és kétféle szakmunka szükséges: durva asztalosmunka és felületkezelés. Az egyes bútortípusok előállításához a különböző erőforrásokból szükséges mennyiséget a táblázat adatai mutatják. Jelenleg 48 egység faanyag, 20 órányi felületkezelés és 8 órányi asztalosmunka kapacitás áll rendelkezésre. Egy íróasztal 60, egy asztal 30, egy szék pedig 20 dollárért adható el. Mivel az erőforrásokat már megvásárolták, a Dakota cég az összbevételét kívánja maximalizálni. Erőforrás Íróasztal Asztal Szék Faanyag 8 egység 6 egység 1 egység Felületkezelés 4 óra 2 óra 1,5 óra Asztalosmunka 0,5 óra Kundi Viktória, Phd hallgató Forrás: Winston, 2003. 141. o. alapján

Duál feladat felírása II. x1 = a gyártott íróasztalok száma x2 = a gyártott asztalok száma x3 = a gyártott székek száma A feladat matematikai modellje Primál (maximum) feladat Duál (minimum) feladat Kundi Viktória, Phd hallgató

A duál gazdasági jelentése Erőforrás/Termék Rendelkezésre álló erőforrás Erőforrás Íróasztal Asztal Szék 48 egység Faanyag 8 egység 6 egység 1 egység 20 óra Felületkezelés 4 óra 2 óra 1,5 óra 8 óra Asztalosmunka 0,5 óra Eladási ár 60$ 30$ 20$ y1=1 egységnyi faanyagért fizetendő ár y2=1 óra felületkezelésért fizetendő ár y3=1 óra asztalosmunkáért fizetendő ár Kundi Viktória, Phd hallgató

A dualitás matematikai és gazdasági értelmezése minimumfeladat és maximumfeladat is megoldható a duál párján keresztül Dualitás-tétel: a primál és duál feladat optimális célfüggvény értékei azonosak (ha mindkettőnek van optimuma). a duál feladat optimális megoldásának komponenseit az erőforrások elszámolható árának vagy árnyékárának nevezzük Árnyékár: Az i-edik feltétel (i-edik erőforrás) árnyékára megmutatja, hogy mennyivel javul (maximumfeladatnál nő, minimumfeladatnál csökken) a célfüggvény optimális értéke, ha bi-t (az i-edik erőforrás kapacitását) 1-gyel növeljük (tehát bi helyett bi+1 lesz a korlát). Kundi Viktória, Phd hallgató

Dakota probléma – primál feladat megoldása Primál feladat optimális megoldása Kundi Viktória, Phd hallgató

Dakota probléma – primál feladat megoldása Primál feladat optimális megoldása Primál feladat korlátozó feltételeihez tartozó árnyékár = Duál feladat optimális megoldása Kundi Viktória, Phd hallgató y1 = 0, y2 = 10, y3 = 10

Dakota probléma – duál feladat megoldása optimális megoldása Kundi Viktória, Phd hallgató

Dakota probléma – duál feladat megoldása optimális megoldása Duál feladat korlátozó feltételeihez tartozó árnyékár = Primál feladat optimális megoldása Kundi Viktória, Phd hallgató

Minimumfeladat (tápkeverék összeállítása) x1= az A tápból szükséges mennyiség (a keverék előállításához) x2 = a B tápból szükséges mennyiség (a keverék előállításához) A primál feladat matematikai modellje: Kundi Viktória, Phd hallgató Írjuk fel a feladat duál párját! Forrás: Raffai, 101. o.

Tápkeverék összeállítása (primál feladat) Kundi Viktória, Phd hallgató

Tápkeverék összeállítása (primál feladat) Kundi Viktória, Phd hallgató

Gyakorló feladat Egy vállalat 3 erőforrással (Ei) három különböző terméket (Ti) állít elő. Határozza meg a maximális nyereséget biztosító optimális termékösszetételt, ha az egyes termékek normaóra adatai, az egyes erőforrások kapacitás adatai és az egyes termékek nyereség adatai a következő táblázatban adottak: T1 T2 T3 Kapacitás E1 5 nó/db 6 nó/db 2 nó/db 300 E2 1 nó/db 4 nó/db 7 nó/db 400 E3 3 nó/db 8 nó/db 600 Nyereség 7 Ft/db 5 Ft/db 10 Ft/db Kundi Viktória, Phd hallgató Forrás: Raffai, 106. o. alapján

X1 X2 X3 x4 Ny1 7 2 11 9 ny2 12 8 20 Ár Önktg. 60 30 70 42 31 29 110 90 Egy üzem 4 terméket állít elő. Ehhez két erőforrást használ fel. Az 1. erőforrásból 2560 egység, a másodikból 4300 egység áll rendelkezésre. Az egyes termékek erőforrás szükségleteit és eladási árát, önköltségét az alábbi táblázat mutatja. Feltételek: Az 1. erőforrás kapacitását teljesen ki kell használni. A 2. erőforrás kapacitása nem léphető túl A 2. termékből 11-el kell többet termelni, mint az 1. és 4. termékből együtt. A 2. termékből max. 2x annyi gyártható, mint a 3. termékből. Az 1. és 4. termékből együtt legalább 8 m Ft értékben kell termelni. Az 1. termék árbevételének és a 4. termék árbevételének aránya 7:4! Cél: jövedelem maximalizálása Kundi Viktória, Phd hallgató

Egy vállalat 3 féle tápanyagot használ Egy vállalat 3 féle tápanyagot használ. Egy takarmányt állítunk össze, melynek figyeljük a beltartalmi értékeit (fehérje, keményítő, zsír, kalória). Határozza meg a feltételrendszert, és ennek adatai alapján minimalizálja a vállalat költségeit úgy, hogy a tápanyaggal az előírt szükségleteket is kielégítsük, valamint határozza meg egyenlet formájában, milyen áron érdemes eladnom a takarmányt! T1 T2 Szükséglet Fe 1 2 18 Ke 3 14 Zs 12 költség 8 Kundi Viktória, Phd hallgató

A munkaerőt teljesen ki kell használni. Kundi Viktória, Phd hallgató Erőforrások T1 T2 T3 T4 E1 2 10 400 munkaerő E2 3 4 9 150 gépóra Ár Önköltség 81 52 110 46 120 95 175 105 Mennyit termeljünk az egyes termékekből, hogy a nyereség a lehető legnagyobb legyen? Írja fel a matematikai modellt a következő feltételkkel: A munkaerőt teljesen ki kell használni. A gépek kapacitása nem léphető túl. A 3. termékből legalább 20 darabbal többet kell termelni, mint a 2. és 4. termékekből együtt. Az 1. és a 4. termék ára összesen 5 m ft. Az összes költség legfeljebb 20 m Ft. lehet. A 3. és 1. termékek árbevételének aránya legfeljebb 3:5.

Köszönöm a figyelmet! Kundi Viktória, Phd hallgató