Kvantum informatika

Kvantum és klasszikus fizika A világnak leegyszerűsített ugyanakkor elképesztően pontos leírása. Pontszerű test leírása: r(x,y,z) + v(vx,vy,vz) r = r(x0,y,0,z0) és v = v(vx0,vy,0vz0) r(x1,y1,z1) és v(vx1,vy,1vz1), szigorúan kauzális Kvantum fizika: Pontszerű részecske a térben kiterjedten mozog, amit a ψ(r,t) hullámfüggvénnyel írunk le. Benne van minden az r-ről, P-ről és még sok mindenről. Időbeli változását a Schrödinger-egyenlet adja meg: H ψ = E ψ, ahol:

Hilbert – tér: f,g: CC, ekkor, a két függvény skalárszorzata: Ez a hullámfüggvénnyel jellemezhető kvantumállapotok Hilbert- tere Geometriai fogalmakkal lehet leírni olyan elemek halmazát, amelyek között definiálható az összeadás és a skalárszorzat. Összeadás: Szuperpozíció Skalárszorzat: Kvadratikus Born-szabály biztosítja: P = |ψ(r,t)|2d3r megtalálási valószínűség L2-beli függvények alkotják

1.: Hullámfüggvény Hilbert-térbeli reprezentációja: |ψ(t)>=Σn cn(t)|n>, ahol: |n> (n=1,2,…) jele egy un(r) hullám-függvényekből álló ortonormált bázisnak: <m|n>=δmn |ψ(t)>=Σn |n><n| ψ(t)>, Σn |n><n| = 1 2.: X hely- , P impulzus operátor: <x|X|x’> = xδ(x-x’), <x|P|x’ > = -iħδ(x-x’) 3.: Schrödinger-egyenlet:

Mérés, Unitér operátor Bázisváltás: Áttérünk |m>  |α> | ψ >= Σ m cm|m> = Σ α dα | α >  dα = Σ U α m cm U:=< α|m> transzformációs mátrix Fizikai mennyiségnek megfelelő operátorok mátrixának transzformáltja: < α|A|β>=(U A U-1) αβ U unitér mátrix: U+U=1, ui.: (U-1) αβ = (U αβ)* A bázisváltás nem változtatja meg a kvantumállapot normálását.

Izolált rendszer Egy elszigetelt kvantumrendszer transzformálása: |ψ(t)>= U(t) | ψ(0) >, ahol Ez mindig unitáris, de nincs valóban elszigetelt rendszer (Esetleg az egész Univerzum?) Hogyan írható fel egy valós rendszer Schrödinger egyenlete? Rendszer: Q, Környezete: T Felírjuk Q változásának Schrödinger – egyenletét. Ez nem unitáris (mivel a projekció nem unitáris)

Informatika és Kvantummechanika 1. Tekinthetünk a Természetre úgy, mint egy információs processzorra? 2. Tudja-e egy számítógép szimulálni az egész Természetet? A válasz az elsőre igen: |ψ(t)> ↔ Absztrakt egység, mely pontosan tartalmaz mindent Q-ról. Ugyanakkor nem csak |ψ(t)> egy teljes leírása Q-nak.

Church - Turing tézis Minden formalizálható probléma, ami megoldható algoritmussal, az megoldható Turing-géppel vagy lambda- kalkulussal is. Church Turing princímium (1985): Minden valóságos és véges fizikai rendszer tetszőleges közelítéssel szimulálható egy univerzális számítógépen véges erőforrással.  Ez nem utal Turing gépre

Kvantum számítógép Klasszikus Bitek  kvantum állapotok alakulása Lehetséges Univerzális Turing gép Klasszikus számítógép nem tudja szimulálni a Természet bizonyos viselkedéseit. Lehetőség van új fajta számoló eljárást kifejleszteni, ami különbözik klasszikus számítógép tudománytól.

EPR Paradoxon

EPR Paradoxon leírása Az EPR-paradoxon Bohm által adott (EPRB-paradoxonnak is nevezett) megfogalmazásában egy forrás két elektront bocsát ki, amelyek együttes spinje nulla, és mindkettő a pozitív és a negatív spin kvantum szuperpozíciójában van, (azaz a két részecske összefonódott állapotban van). A részecskék eléggé eltávolodnak egymástól ahhoz, hogy fénysebességnél lassabb kölcsönhatás ne jöhessen közöttük számításba. Ha ezek után a két részecske spinjét megmérjük a (tetszőlegesen választott) z tengely mentén, azt kapjuk, hogy ellentétes spinűek. Ha az x tengely mentén mérjük meg, ugyanezt kapjuk. A másodjára mért részecskénél tehát a mérés eredménye determinisztikus (az első részécskénél mért érték ellentéte). A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint egy részecske spinje két, egymásra merőleges irányban egyszerre nem mérhető meg. Így, ha megmérjük az első részecskén a z, majd a másodikon az x tengely menti spint, a második részecske x irányú spinje nem lehet ellentéte az első részecske mérések előtti spinjének, mert akkor az első részecske mindkét iránybeli spinjét ismernénk. Így tehát az első részecske z irányú mérésének valahogy „el kell rontania” a második részecske x irányú spinjét, éppúgy, ahogy a saját x irányú spinjét elrontja. A két részecske azonban – ha a lokalitást elfogadjuk – túl messze van ahhoz, hogy bármiféle kölcsönhatás felléphessen közöttük.

EPR Paradoxon Előzmények: - Honnan tudják a detektorok, hogy az egyik megszólalt? Kétfoton állapot nem két foton állapot Einstein – féle nonszeparabilitás 1935: Ha szétrepülő 2 részecskék 2 független rendszert alkotnak, akkor a kvantummechanika nem teljes, ui. ellentmondásra jutunk. 1965: Egy szinglett állapotú részecskepárt kell szétrepíteni, akkor a spinvetületét megmérve (Stern-Gerlach k.) tökéletes antikorrelációt kapunk.

„EPR követelmények” Tökéletes antikorreláció Lokalitás: A 2. rendszer állapotát nem befolyásolhatja, hogy mit mérünk az elsőn. Valóság: 2. spinvetület értékét az első mérés után a rendszer megzavarása nélkül biztosan tudjuk, ezért „egy eleme a fizikai valóságnak”, ami kvantummechanikában nincs benne. Teljesség Ma: A kvantummechanika teljes, de csak a kétrészecske – állapotok a valóságosak, amelyek egy részecske spin vetületét megmérve meghatározhatók, a második mérés ezt csak ellenőrizheti.  Ez nem lokális kapcsolat Jeladásra nem használható.

Bell, 1964 Véletlen = Rejtett paraméterek, hiányos a leírás Lokális rejtett paraméter idézi elő az (anti)korrelációt Bell kérdése: Le lehet-e írni a tökéletes antikorrelációt egy lokális közös okkal, vagy egy véletlen paraméterrel, amelyek egyes értékeihez (↑,↓) , másokhoz (↓ ,↑) tartozik? Ha a két spin vetülete nem párhuzamos a Stern-Gerlach analizátorral mérjük Válasz: NEM.

A Kísérlet Két SG irány egységvektora: a = (sinθ1cosφ1, sinθ1sinφ1, cosθ2) b = (sinθ2cosφ2, sinθ2sinφ2, cosθ2) Mindkettőhöz tartozzon egy detektorpár Egyikhez +1 a másikhoz -1 tartozik, ħ/2 egységekben mérve Amikor a forrás kibocsájt egy részecske párt, akkor az szinglett állapotban van: A két oldalon egy-egy detektor megszólal, a két oldali eredményeket összeszorozva +1 vagy -1-et kapunk Átlagoljuk a méréseket: Eψ(a,b)= -a b

Cél az volt, hogy találjon olyan kísérletsorozatot, amelyben a kvantummechaniai eredményt nem lehet reprodukálni lokális rejtett paraméteres modellel. CHSH: Koincidenciák: ++, +- ….  1. analizátor iránya: a vagy a’ 2. analizátor iránya b vagy b’ : |E(a,b) – E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’)| ≤ 2 Könnyű olyan a,b,a’,b’ vessző irányokat találni, melyek sértik az egyenlőtlenséget. Ezekbe az irányokba állítva az analizátorokat, a kísérletek a CHSH (Bell) egyenlőtlenséget megsértő eredményt adnak Cáfolat a lokális rejtett paraméterek feltevésének

Aliz és Bob Aliz és Bob mérik a spin komponenseket különböző tengelyeken: x’,z’, amelyek az x-z síkon vannak. Mindkét mérés eredménye + vagy -. Mindkét válasz valószínűsége egyforma: sin2((φA- φB)/2), ahol φA, φB tengelyek x’ z illetve z’ z tengelyek között. Eredmények: φA= φB Ellentétes, 0 φA= φB + 180  Egyenlő ,1 φA- φB = 120  3/4

Kvantum Információk

Qbitek Kvantumbit: bit = 0 vagy 1, addig a qbit két állapot szuperpozíciójában is képes lenni. n db qbit a Hilbert térben 2n dimenziós teret alkot, ami 2n kölcsönösen ortogonális kvantumállapot. Például: 3 regiszteres qbit: |ψ>=a|000>+b|001>+c|010>+d|011>+e|100>+f|101> +g|110>+h|111>, ahol a,..h є C Egy kvantum regiszter leírásához exponenciálisan növekvő számú komplex szám szükséges (a fenti 3-qubites regiszter leírásához 23 = 8 komplex szám szükséges). A valamely kvantumállapot becslésére szükséges klasszikus bitek száma a qubitek számával exponenciálisan nő (n  2n). Egy 300 qubites kvantum regiszterhez 1090 nagyságrendű klasszikus regiszter szükséges, ami több, mint ahány atom van a megfigyelhető világegyetemben

Qbitek hordozói Mezoszkópikus kvantumrendszerek, makro- és mikro rendszerek között Repülő qbit: A foton, többféle módon kódolható bele egy qbitnyi koherens információ. Lineáris polarizáció Cirkuláris polarizáció Időben szétválasztott imp. Pár Foton hullámcsomagok lelassítása gondot okoz Fotonokkal gyorsan lehet számolni, de át kell írni tömeges adathordozókról qbitre Szilárdtest rendszer; Kvantum - pötty Keresztezett lézersugarak Chipek, stb.

Kvantum kapuk 1. Qbitek egyszerű unitáris operátorai. Például: |0>  |0> és |1> exp(iωt)|1>, akkor t idő elteltével a műveletet elvégezzük a qbiten, azaz: P = |0><0|+exp(iθ)|1>

Kvantum kapuk 2. I ≡ |0><0| + |1><1| Identitás X ≡ |0><1| + |1><0| Nem Z ≡ P(π) Y ≡ XZ H ≡ (1/√2)[(|0>+|1>)<0| + (|0> - |1>)<1|] Az unitáris operátorok két qbiten végeznek műveletet, de: |0><0| X I + |1><1| X U, ahol I: szinglett - qbit identitás operátor U: szinglett –qbit Irányított-NEM (Controlled-NOT): |00>  |00> ; |01>  |01> |10>  |11> ; |11>  |10> aa, ba X b X: XOR ÉS (AND): 3 qbit „ Irányított-Irányított-NEM” kapu: aa, bb, 0ab

Klónozás? Az eredeti és a klón közös Hilbert-térben rávetítene egy olyan altérre, ahol a klón és az eredeti megegyezik, azaz projektor, ami nem lehet unitér transzformáció. Ugyanakkor dekoherencia bevezetésével a projektorok is megvalósíthatók. DE: Ha egy kvantumállapotra elkészítjük ezt a projektort, az már egy másik állapotra nem működik.

Nincs klónozás Egy kvantum állapot nem klónozható / másolható Készítsünk|α> -ról másolatot: U: unitér operátor  U(|α>|0>)=|α>|α> U nem függ α-tól, így U(|β>|0>)= |β>|β> Összefonódott állapotuk |γ>=(|α>+ |β>)/√2, ekkor: U(| γ >|0>)= (|α>|α>+ |β>|β>)/√2≠|γ>|γ>  Hiba történt a másoláskor Kontraszt a klasszikus másolással C-NOT vagy XOR |0>-t vagy |1>-et „másolhat”, de már gond lehet a |+>=(|0>+|1>) √2 és a |->=(|0>-|1>)/ √2 állapotoknál is.

Következmény Nincs klónozás és az EPR paradoxonnal azt mutatja, hogy kvantum mechanika konzisztens. Ha van klónozás EPR korrelációval lehet a fénysebességnél gyorsabban üzenni.

Sűrű kódolás 1. Qbitek alkalmasak információ tárolásra és küldésre. Például: Klasszikus 00101 string Aliz: |00101> Bob: Tudja tömöríteni az információt mindegyese qbit mérésével a {|0>,|1>} alapján. Aliz és Bob: |00> + |11> állapotban vannak Soha nem beszéltek még Aliz küld 2 klasszikus bitet, Bob 1 qbitet (Bennet és Weisner, 1992) Bell bázis: Kölcsönösen ortogonális állapotok: |00>+|11>, |00>-|11>,|01>+|10>,|01>-|10>

Sűrű kódolás 2 Aliz legenerálja valamelyik Bell bázis állapotot a qbit-jén az {I,X,Y,Z} operátorokkal. 4 lehetősége van, hogy a választása 2 klasszikus bitet reprezentáljon. Elküldi Bobnak, akinek vissza kell fejteni, melyik bázis állapotban van a qbit. XOR kapu: |00> ±|11>-től |01> ±|10>-ig Megtalálja a jelet egy szuperponált állapotban, H operátorral megméri a maradékokat. Nehezen megvalósítható Nem praktikus a klasszikus kommunikációban

Kvantum Teleportáció 1. Egy rendszer tetszőleges kvantum állapotát átmásolni lehet egy másik rendszerre úgy, hogy az eredeti megváltozik megvalósítható. Alapművelet Másolás: Foton Atomos hordozók vagy vissza megfelel egy kvantumszámítógép memória műveleteire: írás-olvasás Egy összefonódott részecskepárt pl. polarizált szinglett fotonpárt használ átvitelre A fotonpárt szétküldjük az információt leadó ill. felvevő rendszer felé. Ezután:

Nem anyagot, hanem kvantum állapotot teleportálunk Határozzuk meg kvantumméréssel a teleportálandó állapotú rendszerek és a pár hozzá küldött tagjának közös kvantum állapotát Klasszikus információs csatornán továbbítás A megkapott eredmény és fotonpár vevőoldali tagja együttesen meghatározza, hogy milyen unitér tr. viszi át a vevő rendszert az eredetivel azonos, teleportált állapotba. Prototípus: LOCC Nem anyagot, hanem kvantum állapotot teleportálunk

Kvantum teleportáció 2. Aliz szeretne Bobbal kommunikálni egy szinglett qbit állapotban |φ>. Ha Aliz ismeri – mondjuk |φ>=0 – akkor tud üzenetet küldeni. Ha nem ismeri nem tud küldeni, és bizonyossággal nem is ismerheti meg  Vagy egy fizikai qbitet küld (elektron, atom) vagy állapotot változtat. Aliz és Bob pozíciója:|00>+|11> Aliz üzenni szeretne Bobnak az ismeretlen |φ> állapotba. Felírhatjuk, hogy |φ> = a|0> + b|1>, ahol a,b ismeretlen együttható 3 qbit inicializált állapota: a|000>+b|100>+a|011>+b|111> Aliz kiszámolja a Bell bázist az első 2 qbiten Aliz alkalamzza XOR és a H kapukat, mielőtt megmérné a qbitjét, majd az állapot bekerül a 4 különböző lehetséges állapot egyikébe (összeomlik) és 2 bitet küld el.

Bob: {I,X,Y,Z} operátorokat alkalmazza az ő qbitjére a|0> + b|1> = |φ> Megkapta azt az üzenetet, amit Aliz akart Amint megérkezik az üzenet Bobnak Aliznál eltünik  Ez nem klónozás.

Kvantum titkosírás Charles Bennett és Gilles Brassand 1984 BB’84 Polarizált fotonok sorozatában kódolva, kétféle polarizációs rendszer véletlen váltogatásával kell elküldeni, pl.: 0 = ↕ vagy↗ 1 = ↔ vagy ↖ Példa: 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 … Alíz: ↕ ↗ ↖ ↗ ↔ ↗ ↔ ↖ ↕ … Bob: Nem tudja, hogy a 2 közül melyik kódolást használta Aliz. Utólag nyilvános telefonon megbeszélik, hogy polarizátor-analizátor beállításait és amelyik bitnél azonos volt a beállítások, azt elfogadják a kód részének. Aliz és Bob feláldozzák a kód egy részét, hogy megállapítsák történt –e lehallgatás. Megmondják egymásnak, hogy a küldött és fogadott bit értékét és ha a kettő különbözik, akkor zaj vagy lehallgatás történt. Ha a zaj szinthez képest túl sok az eltérés, akkor lehallgatás történt, és a kódot elvetik.

Lehallgatás legegyszerűbb módja Éva feltartóztatja a qbiteket és megnézi őket, majd tovább küldi Bobnak Átlagosan fele annyi idő alatt Éva kitalálja Aliz bázisát helyesen és nem zavarja biteket. Habár kitalálja nem esik egybe Bobéval ui. Éva a bitek felét találta el. Aliz és Bob később megzavarják a másik felét. Bob |+> Aliz |0>-t küld  Éva már csak n/4-t ismer Aliz és Bob most már tudják érzékelni a lehallgatást. Ha megegyezik minden bit, meggyőződhetnek arról, hogy nincs lehallgató, akkor annak a valószínűsége, hogy mégis jelen van: n = 1000 (3/4)n/2 ≈ 10-125 Sok rendszert dolgoztak már ki.: E91, EPR párok, stb.

Adattömörítés Mennyi információ nyerhető ki egy qbitből?: S(ρ) = -Tr ρ log ρ, ahol Tr.: nyom operátor (trace) , ρ: sűrűség operátor Tfh.: X valószínűsége: p(X) Ha kvantum rendszer a |x> állapotban van, akkor: ρ = Σx p(x)|x><x|  S(ρ) Kapcsolat: Ha n>>1, akkor bontsuk fel kisebb részekre és azokat küldjük el. Encode – Decode q, n  átküldés  q’, n, ρ’ akkor sikeres, ha: ρ’ közel van ρ-hoz (q: kvantum rendszer állapota) Hűség: Ha ρ, ρ’ ua. az állapota |φ>< φ| és |φ’>< φ’|  f = |< φ| φ>|2