Véletlen logikai hálózatok

Bevezető Logikai változó: Bináris változó. Két lehetséges értéke van: 0 és 1, néha ±1 {σ 1, σ 2,..., σ N }, σ i : {0,1}, i = 1,2,...,N Logikai függvény: {0,1} K → {0,1} –Példa: ÉS, VAGY függvények Logikai hálózat: Logikai függvények egy halmaza, amely kapcσolatban áll N logikai változóval. σzemléleteσen egy irányított gráfot (határoz meg) határoz meg. σ1σ1 σ2σ2 ÉSVAGY

Ellenőrző (Kontroll) elemek: Olyan σ j1(i), σ j2(i),..., σ jKi(i) logikai változók, amelyek meghatározzák, hogy σ i milyen értéket vesz föl a következő időpontban: σ j (t+1) = f i (σ j1(i) (t), σ j2(i) t),..., σ jK(i) (t)). f: logikai függvény Időfüggés: Az idő definit diszkrét: σi = σi(t +1) t = 1,2, … Rendszer állapota: Σ t = {σ 1 (t), σ 2 (t),..., σ N (t) egy t időpontban –N dimenziós vektor, –Ω = 2 N : konfigurációk száma –0 < Σ t < 2 N

Két példa

Példa: -N=4 –σ1(t +1) –t a σ2(t), σ3(t) és σ4(t) határozza meg (K = 3). –σ2 ellenőrző elemei: σ1 és σ3 (K = 2). –σ4 konektivitása σ K = 1.

Modell definíció 1. Konnektivitás (Connectivity): K i az i. elem (változó) mennyi változóval van kapcsolatban. Várható értéke (átlag): K i = K, i=1,2,…N 2. Linkages, Kontroll elemek 3. „Evolúciós szabály” : Logikai függvények létrehozása, melyek egyértelműen meghatározzák σ1(t +1) –t σ j1(i) (t), σ j2(i) t),..., σ jK(i) (t) - ből

Coupling functions Logikai függvények: f i s {σ j1(i), σ j2(i),..., σ jK(i) }  σ i - Argumentumainak a száma: 2 K - Adott K-hoz tartozó ~ száma: Típusai –Egységes disztribúció (Uniform distribution) –„Mágneses egyoldalúság” (Magnetization bias) A függvény találati valószínűsége p ha a kimenet 0 és 1-p ha a kimenet 1 –Erő függvények (Forcing Functions) A függvény értéke meghatározott, mikor egy argumentuma (m=1,…,K) egy adott specifikus érték (σ m = 0) –Additív függvények

Páros függvények osztályai (Classification of coupling functions) K konnektivitás szerint: –K=0  Két konstans függvény: f = 1, f = 0 –K=1  –K=2  4 osztály jelenik meg f(σ 1, σ 2 ) A: konstans függvények B1: Teljes irányító függvény, ahol egy argumentum meghatározza a kimenetet B2: Normál irányító függvény C: Nem irányító függvények (reverzibilis függvények)

N-K hálózat - =Kauffman hálózat vagy Erdős – Rényi véletlen gráf z := átlagos fokszám p := összekötési valószínűség megj.: az élek száma |E| = Nz/2 - N logikai váltózó pontosan K másik véletlenül választott logikai változó hat egymásra - Egy függvény véletlenül kiválasztja az összes lehetséges elemet a logikai függvények közül, K logikai inputra képezi le őket, majd ebből áll elő a logikai kimenet.

Modell megvalósítás Egyidejű frissítés: Az összes (σ i )változó egyszerre frissül Nem egyidejű frissítés: Csak egy változó frissül minden lépésben. Ez a változó lehet véletlenül kiválasztott vagy előre meghatározott ~ok típusai: -Quenched modell: Kezdteben csak egy függvényt választunk ki és tartunk meg az idő folyamán -Annealed modell -Genetikai algoritmus

Körök és attraktorok Trajketóriát bármilyen dinamikai rendszer tud generálni (állandó szabályokkal) Quenched modell  Körkörös viselkedés Kör trajektória  Egy fixpont Példa: N=3, K=2, Σ t egyidejűleg frissül

Két különböző kezdő állapot Hamming distance (Két állapot közötti távolság) Példa: –D(t) 1-2 =4 –D(t) 1-3 =4 A logikai hálózat dinamikája

Normált átfedés: két különböző konfiguráció között van, definíciója: Információs veszteség két különböző kezdő állapot között: –Veszteség (Összes információ elvész, ami a kezdeti állapotban volt) –Megtartás(Emlékezik rá)

Információ áramlás rövid idő alatt Kérdés: Hogyan lehet rövid idő alatt üzenni? Vizsgáljuk meg a „távolságot”: D(t) ≈ D(0)exp(λt), λ: Lyapunov exponens 0< D(0) << N Lyapunov exponenstől függően 3 tartomány jön létre – λ > 0: Kaotikius: D exponenciálisan növekszik – λ < 0: Fagyott: Két közeli trajketória közelít egymáshoz – λ =0: Kritikus

Fázis diagram N-K modellben valamennyi logikai változó függ valamennyi logikai változótól. Ezért változik a „távolság” definíciója: –Kaotikus: K>2 –Fagyott: K<2 –Kritikus: K=2

Bifurkáció f i értéke 0 p valószínűséggel és 1 1-p valószínűséggel (sokszor p = 1/2 )

Átfedés időfejlődése Átfedés két állapot között: a(t)=1-D(t)/N, Annak a valószínűsége, hogy az fi argumentum-ai megegyeznek két konfigurációban: ρ K = [a(t)] K Ahogy láttuk a Hamming distance esetén 2p(1-p) valószínűségű, hogy két érték eltér a következő lépésben Ugyanígy egy elem eltérési valószínűsége a többi elemetől Σ t és Σ ~ t -ben: 1- ρ K, és (1- ρ K )2p(1-p), hogy mindegyik eltér

Bifurkáció

A Kauffmann – hálózat merevsége Kaotikus tartomány K>Kc: A két trajektória kezdőpontja nagyon közel van egymáshoz Figure 3.6: Phase diagram for the N-K model. The curve separating the chaotic from the ordered (frozen) phase is Kc =[2p(1−p)]−1. The insets are simulations for N = 50 networks with K = 3 and p = 0.60 (chaotic phase), p = 0.79 (on the critical line) and p = 0.90 (frozen phase). The site-index runs horizontal, the time vertical. Notice the fluctuations for p = 0.79 (from Luque & Sole, 2000). Fagyott tartomány K<Kc

Rács kontra Véletlen hálózat Rács: - Nincs információ vesztés, ha a* 0 –Lehetőség Numerikus Szimulációk készítéséhez –„Linkages” véges skálájú  A hálózat sem végtelen

Skálafüggetlen hálózatok

Fázis diagram a skála független hálózatról Az átlagos konnektivitás divergens, ha γ < 2 és a rendszer kaotikus minden p-re

Boole dinamika

A Kauffman hálózat

K = N Teljes Megpróbáljuk meghatározni a körök számát és hosszát átlagosan Véletlen lépések: q t : Annak a valószínűsége, hogy a trajektória nem zárt

annak a valószínűsége, hogy rendszer tartalmaz L hosszúságú kört: Körök átlagos száma: Körök átlagos hossza:

Alkalmazások Gén állomány feltérképezése Sejtek csoportba sorolása Gén állomány hálózat Zöld pöttyök Ω – nak az elemei (állomásai) alkotnak egy (biológiai) attraktort