FRAKTÁLOK

Mi a fraktál? Olyan ponthalmaz (alakzat), amelyet úgy lehet részekre bontani, hogy minden rész egy kisebb méretű másolata az egésznek (legalábbis megközelítőleg). önmagához hasonló Benoit Mandelbrot adta a fraktál nevet (frangere), jelentése: (szabálytalan) töredék

Önhasonlóság Az alakzat olyan kisebb részekből áll, amely részek hasonlóak az alakzathoz (ezeknél a példáknál ez nem egészen van így )

Konstrukció iterációval

Példák fraktálokra I. Sierpinski-féle háromszög: Koch-féle görbe (hópehely):

Példák fraktálokra II. Mandelbrot halmaz:

Mire alkalmazhatók a fraktálok? Alkalmasak bizonyos objektumok leírására, mint pl. felhők, hegyek, növények, amelyek egyszerű geometriai formáknak nem felelnek meg.

Példák természetes „fraktálokra”

Matematikai definíció Fraktál: olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a toplógiai dimenziójánál.

Topológiai dimenzió Pont – 0, egyenes szakasz – 1, felszín - 2 Egy H halmaz topológiai dimenziója k, ha minden pontjának van olyan tetsz. kicsi környezete, aminek a határa H-ban egy k-1 dimenziós halmaz és k a legkisebb ilyen tulajdonságú nem-negatív egész.

Fraktál dimenzió Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek s-szeres (s<1) nagyításai H-nak.

Nem fraktálok Pl.: egyenes szakasz Pl.: négyzet

Fraktál Pl.: Koch-féle görbe N=4, s =3 N=4, s =3

Mandelbrot-halmaz Azon c komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = 0, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál. (|c|=<2) majdnem önhasonló, egyszeresen összefüggő

Julia-halmazok Azon z komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = z, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál (c itt paraméter, azaz minden c-hez tartozik egy Julia-halmaz). c = 0.75

Julia-halmaz II.

Julia-halmazok Különféle c értékekre.

Fraktál hegyek Osszunk egy háromszöget három rész-háromszögre, mozdítsuk el a középpontokat. Ismételjük meg a folyamatot a rész-háromszögekre, stb. A sík pontjaihoz rendeljünk magassági értékeket annak megfelelően, hogy hány háromszög fedi azokat le / melyik a legkisebb lefedő háromszög.

Fraktál hegyek

Plazma felhők Hasonló a fraktál hegyeknél alkalmazott módszerhez, csak itt négyzeteket osztunk részekre és a végén nem magassági, hanem fényességi értékeket készítünk.

Fraktál növény

Animált fraktál

3D