Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLET Ű TÁRGYALÁSA matikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html

Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) Szintaxis Szemantika 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) Szemantikus következmény Normálformák Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis Szemantika 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) Szemantikus következmény Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

Ἀ ριστοτέλης ΠλάτωνΕ ὐ κλείδης (i.e ) (i.e 427.) (i.e 300.) szillogizmus)ideatan, filozófus geometria axiomatizálás

Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)  Szintaxis abc, term, formula, szintaktikai definíció, egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése Logikai összettetség Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens Változó átnevezés, Termhelyettesítés  Szemantika Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész) változó kiértékelés(  )  L-értékelés (term és formula) Term és formula értéktáblája Quine-féle táblázat Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia 1. rendű logikai törvények Szemantikus következmény Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Abc Logikai rész: , , , , , ,  Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak Elválasztó jelek („(„ „)”) (ítélet változók) Logikán kívüli rész: Függvény, predikátum és konstans szimbólumok Elemfajták halmaza

Hogyan nézne ki az a azonos b -vel formalizálása másodrendű logikai nyelvén?

Példa: Term: f(x,f(c,y)) f: függvényszimbólum : U x U U c: konstansszimbólum: c U x: indivíduum változó: U elemeit futja be Formula:  x(H(x)  S(x,f(y 1,y 2,y 3 )) f: függvényszimbólum: U x U x U U c: konstansszimbólum x, y 1,y 2,y 3 : indivíduum változók: U elemeit futják be H: predikátum szimbólum: U {i,h} S: predikátum szimbólum: U x U {i,h}

A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése). Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni. Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát. Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk. Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük: Emlékeztető: Formula minden ítéletváltozó ( V v )  JFF ha A  JFF akkor  A  JFF ha A,B  JFF akkor (A○B)  JFF minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával. Egyszerű állításÖsszetett állítás interpretációBoole-értékelés { i, h } { i, h } Formula jelentése mindig igazságérték!

A leíró nyelv ábécéje (V v ) A logikai jelkészlet: az indivíduumváltozók, az egyenlőségreláció neve (=), a logikai összekötőjelek és a kvantorok kiegészítő elemek az elválasztójelek. A nem logikai jelkészlet a relációk, műveletek és a konstansok nevei. Az  = struktúra egy logikai nyelv megadását jelenti, ahol Tp: típusok halmaza Pr: Predikátum szimbólumok halmaza Fn: függvényszimbólumok halmaza Kn: konstansok halmaza (kitüntetett U-beli elemek) ( 1, 2, 3 ): a struktúra szignatúrája Mindezeket interpretálni kell! Itt nem csak a változókat kell interpretálni!

Az Interpretáció első rendben a következők megadását jelenti: 1. Individuum változók milyen individuum halmazt (univerzum) futnak be 2. Konstans szimbólumok: melyik individuumokat jelölik 3. Függvényszimbólumok: milyen matematikai műveleteket (függvényeket) jelentenek 4. Predikátumszimbólumok: milyen matematikai relációkat (predikátumokat / logikai függvényeket) jelentenek Kell hozzá keresni egy megfelelő matematikai struktúrát!

Matematikai struktúra Az (U; R; M; C) négyes matematikai struktúra vagy modell, ahol: U nem üres halmaz, az értelmezési tartomány, univerzum, vagy individuumhalmaz, R az U-n értelmezett (alap) relációk (logikai függvények/leképezések) halmaza: U n  {i,h} M az U-n értelmezett (alap)műveletek (matematikai függvények/leképezések) halmaza: U n  U. C pedig U-beli elemek halmaza

Definíció: A struktúra szignatúrája Az (U; R; M; C) matematikai struktúra szignatúrája a 1, 2, 3 hármassal jellemezhető, ahol: ha R  R és R: U n  {i,h}, akkor 1 (R)=n ha F  F és F: U n  U, akkor 2 (F)=n a 3 megadja C elemeinek számát. Definíció: A struktúra típusa A struktúra típusa- a szignatúra egy másik megadási módja. A típus megadásának az a módja, hogy az univerzum megadása után az alaprelációk, és az alapműveletek aritásának, majd pedig a konstansoknak a felsorolása történik meg:

Definíció: Interpretáció Az L(V v ) = =  elsőrendű logikai nyelvnek egy az L nyelvvel azonos szignatúrájú S = matematikai struktúrával történő I interpretációja az : I= függvénynégyes, ahol - I Srt :  U  Ha Srt egyelemű, akkor az interpretáció U univerzuma egyfajtájú elemekből áll. - I Pr : P  P I, ahol P I a struktúra R halmaza - I Fn : f  f I, ahol f I a struktúra M halmaza - I Cnst : c  c I, ahol c I a struktúra K halmaza

A formalizált egyfajtájú  nyelv abc-je és a matematikai struktúra közötti kapcsolat. Megjegyezzük, hogy ha egy elsőrendű logikai nyelvben az egyenlőség (=) predikátumszimbólum is szerepel, szokás a nyelvet egyenlőségjeles elsőrendű nyelvnek is nevezni.

A formalizált többfajtájú  nyelv abc-je és a matematikai struktúra közötti kapcsolat. struktúra struktúra ábécé L mat. log. nyelv ábécé jelölésminőségösszefogl aló jel az U univerzum elemei és a fajták halmaza (k- féle) individuum változók individuum változók az egyes fajtákhoz rendelve x f1,y f1,...,... x fk,y fk,..., logikaiTp alapművelete k.arg. szám (0,1...) és fajták. Alapművelete k nevei. függvény szimbólumok (a konstansok is) arg. szám (0,1...) és fajták. f (ti1,..., tin, tf), g (tj1,..., tjn, tg), logikán Fn alaprelációk arg. szám.(1,2...) alaprelációk nevei predikátum szimbólumok arg. szám.(1,2...) és fajták P (tk1,..., tkn), Q (ts1,..., tsn,),... kívüli Pr egyenlőség reláció =az egyenlőség predikátum =logikai

Nyelv szignaturája: I Struktúra szignaturája:  x,y,... Individum változók A formalizált egyyfajtájú  nyelv szignaturája és a matematikai struktúra szignaturája közötti kapcsolat.

x u1 V U y u2 

A  L-értékelés Egy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak jelentését: {i,h}. A formula valamely L(V v ) = formalizált nyelven íródott 1. lépés. Választunk egy S = matematikai struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával 2. lépés. a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal illetve műveletekkel azonosítjuk (I) 3. lépés. Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett 4. lépés. Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett

Definíció: Termek  = I,  L-értékelése 1. x s individuumváltozó: |x s | I,  a  (x)  U (  egy változókiértékelés) c konstansszimbólum: |c| I,  az U-beli c I elem. 2. |f(t 1, t 2,..., t n )| I,  = f I (|t 1 | I, , |t 2 | I, ,..., |t n | I,  )

 ( x)  ( y) x+ x*y Példa: logikai nyelvstruktúra nyelve I: L= (=, P 1, P 2 ; a, b, f 1, f 2 )S= N ( =, ; 0, 1, +, * ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 )  = I,  Term interpretációja: t  = (f 1 (x, f 2 (x,y)))  = f 1  (x, f 2  (x,y)) = + ( x, * (x,y)) = x+ x*y

Példa: U = {1, 2, 3, 4}  : x yz 2 34  * x variánsai: x yz

Definíció: Formulák  = I,  L-értékelése 1. |P(t 1, t 2,..., t n ))| I,  = i, ha (|t 1 | I, , |t 2 | I, ,..., |t n | I,  )  P I, ahol P I jelöli a P I reláció igazhalmazát. 2. |  A| I,  =  |A| I,  |A  B| I,  = |A| I,   |B| I,  |A  B| I,  = |A| I,   |B| I,  |A  B| I,  = |A| I,   |B| I,  3. |  xA| I,  = i, ha |A| I,  * = i  minden  * x variánsára |  xA| I,  = i, ha |A| I,  * = i  legalább egy  * x variánsára (A a formula törzse/mátrixa)

Példa: |  xA| I,  = i, ha |A| I,  * = i  minden  * x variánsára Legyen U={a,b,c} |  xP(x,y)| I,  = |  xP(x,a)| I = P(a,a)  P(b,a)  P(c,a)  (y)=a |  xP(x,y)| I,  = |  xP(x,b)| I = P(a,b)  P(b,b)  P(c,b)  (y)=b |  xP(x,y)| I,  = |  xP(x,c)| I = P(a,c)  P(b,c)  P(c,c)  (y)=c

Egy kvantormentes formula kiértékelése  ( x)  ( y) (x+ x*y)<( y+ x*y) A formula minden alap előfordulását generáljuk 11h és így minden állítás előáll 23i Példa: Kvantormentes formula interpretációja:  = I,  (P 1 (t, f 1 (y, f 2 (x,y))))  = P 1  (t , (f 1 (y, f 2 (x,y)))  )= P 1  (t , f 1  (y, f 2  (x,y))) = < (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) = < ( x+ x*y, y+ x*y) = (x+ x*y)<( y+ x*y)

Nézzük meg az értéktábláját  ( x) 0<(x+x) 0h 1i Nézzük meg az értéktábláját  ( x) 0<(1+x) 0i 1i Univerzális formula interpretálása:  = I,  (  x P 1 (a, f 1 (b,x)))  = i, ha (P 1 (a, f 1 (b,x)))  (x/u) = i minden u  U Mivel minden egészre a formula törzse i, ezért a  x(0<(1+x)) formula értéke i. Egzisztenciális formula interpretálása:  = I,  (  x P 1 (a, f 1 (x,x)))  =i, ha (P 1 (a, f 1 (x,x)))  (x/u) =i legalább egy u  U ebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy u  N Mivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a  x(0<(x+x)) formula is i.

Kit ábrázol? Miről híres? Marie Curie Isaac Newton Fizikus, rádió aktivitásfizikus, csillagász, tömegvonzás törvénye

Az AR nyelv az elemi aritmetika struktúrájának leírására alkalmas nyelv. Az elemi aritmetikát leíró matematikai struktúra a következő:

Az elemi aritmetika struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük AR nyelvnek. Azaz az elemi aritmetika matematikai struktúra egy interpretációja az AR nyelvnek. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Az AR nyelv ábécéje:

Az AR nyelv szintaxisa:

Az AR nyelv szemantikája: Példa: x  y = def  z(y+z)=x

Egy halmaz részhalmazait leíró logikai nyelvet nevezzük RÉSZH nyelvnek. Azaz a részhalmazt leíró matematikai struktúra egy interpretációja az RÉSZH nyelvnek.

A RÉSZH nyelvnek abc-je és szintaxisa

A RÉSZH nyelv szemantikája Az Ar nyelvéhez hasonlóan határozható meg. Term Konstans: nincs Változók: x P(H) Formula Atomi formula  : P(H) P(H) Összetett állítások Néhány fontosabb reláció formalizálása: X = y = def (x  y)  (y  x)

A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük GEOM nyelvnek. Azaz háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúra egy interpretációja az GEOM nyelvnek. A háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúrája:

A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük GEOM nyelvnek. A GEOM nyelv ábécéje:

A GEOM nyelv szintaxisa: e

A GEOM nyelv szemantikája: Hasonló az AR nyelvnél elmondottakhoz, figyelembe véve a fajtákat.

Hogyan nézne ki a teljes indukció formalizálása az elemi aritmetika másodrendű logikai nyelvén?

XYZ (Z  X  Y  Z) iii i iih i ihi i Egy 1. rendű formula primformulái az atomi formulák ( p(t 1,..., t n ) ) és a kvantált formulák Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel. Példa: P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában: P(X)  Q(X) -ben: P(X) prímkomponens is  xP(x)  Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk. A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók.

Egy 1. rendű formula értéktáblájában az első sorba a szabad indivíduum változók a primkomponensek és a formula kerülne. Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak állításokká. Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum változókat is felsoroljuk a primformulák elé. Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek A primformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési értékek találhatók.

Példa A formula  xP(x)  yQ(w,y)  P(v)  zQ(w,z) A primkomponensek:  xP(x),  y(Q(w,y), P(v),  zQ(w,z)). A szabad indivíduum változók: v, w. Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P  ={1,3} Q  ={(1,2),(1,3), (2,1), (2,2), 2,3)}, Ekkor (  xP(x))  = h, a többiek paraméteres állítások Az értéktábla:  ( V)  ( w)(  xP(x))  (  y(Q(w,y))  P(v)  (  zQ(w,z)))  (  xP(x)  yQ(w,y)  P(v)  zQ(w,z))  11 …. h  y(Q  (1,y))=i P  (1)=i  zQ  (1,z)=h i mivel a feltételrész hamis ….