A tapasztalat és a matematika 1: A világ mértéke

A matematika a természetben A matematika (geometria) a természet egyes területeinek leírására megfelelő – Ilyen területek a „kevert matematikai tudományok”, ahol az örök, de nem létező dolgok (matematikai objektumok) találkoznak a mulandó de létező dolgokkal (tárgyak) Geometriai optika, arányelmélet (harmóniatan), csillagászat, …

A püthagoreánus hatás Szekta/iskola A számok, mint a „világ gyökerei” Szabályos testek (i.e. 450 Hippaszosz – szabályos ötszög szerkesztése), zenei összhang, négyzet- és háromszögszámok, püthagoraszi számhármasok generálása, stb.

A geometriai optika az ókorban Az egyik legsikeresebb alkalmazása a matematikának a Hold-alatti világra Platón Timaiosz-ában már sík és homorú tükrök képalkotása

Eukleidész (?325-?265) Egy oldal az 1557-es kiadásból

Nincs közvetlen távolságpercepció (vs Nincs közvetlen távolságpercepció (vs. atomisták), de méretkülönbségeket magyarázni tudja Sugarak nyalábja Pontosan mik a definíciók? Igaz kijelentések (mint a matematikában – a kor szerint) Vagy csak valószínű jelenségek A sugárkúp középpontja a szemben – itt történik a látás? Propozíció 5., 6. – perspektíva alapjai (Miért nem látunk éjszaka? Hány sugár van?)

Dioklész 240 Kr.e. - Káristos, Evvoia (Görögország) - 180 Kr.e. A tükröket a korai antikvitás óta használták Gyakorlati kérdés: mi a görbülete annak a tükörnek, amelyik a legnagyobb meleget hozza létre? „Püthian a téziai geométer levelet írt Kononnak, amelyben megkérdezte, hogyan található meg az a tükörfelület, amelyből, ha a Nap feléé fordítjuk, a visszavert sugarak egy kör kerületére esnek. Amikor pedig Zenodorusz a csillagász eljött Arkádiába, megkérdezett minket, hogy található meg az a tükörfelület, amely a Nap felé fordítva egy pontba veri vissza a sugarakat és így éegő hatást vált ki.” (G J Toomer, Diocles On Burning Mirrors, Sources in the History of Mathematics and the Physical Sciences 1 (New York, 1976).

Héron (10-75) Katoptrika On the dioptra The pneumatica The automaton theatre Belopoeica (The cheirobalistra) Mechanica Metrica Catoprica

A sugarak mozgása a legrövidebb úton A természet gazdaságossága: alapvető (és nem alátámasztott) elv. Egyenes vonalak – a tükrözés esetén egyenlő szögek. Látás- és tükrözéselmélet

Ptolemaiosz (85-165)

Halandó vagyok, egy nap szülötte De ha elmém a csillagok Igen, tudom, hogy Halandó vagyok, egy nap szülötte De ha elmém a csillagok Kanyargó utjait követi Akkor lábam már többé nem A Földön áll, hanem Maga Zeusz mellett Ahol ambróziával, Az isteni eledellel Tömöm meg magam (Almageszt, I. könyv – ZG (félre)ford.)

Fő munkák Almageszt – bolygómozgások számítása Tetrabiblosz – bólygóegyüttállások, amelyek a földi eseményekre hatással vannak Optika (12-13. sz. „újrafelfedezés) Geográfia (1300 után arab közvetítéssel kéziratok, 1482? Nyomtatvány) …

Optika Látókúp – nem egyedi látósugarak Alaptételek a tudás keresésénél Vagy meghatározó és magától értetődő a gyakorlati hatástól Vagy a belső konzisztenciűtól Kísérletileg igazolja a fényvisszaverés törvényeit Fénytörés, mint tükrözés: a kép a látósugár meghosszabításaként jelenik meg Egy henger aljára helyezett pénz megjelenése Apparátus készítése a pontos mérésekhez Matematikai törvény felállítása

Arányelmélet Zenei összhangok és a matematika kapcsolatának felismerése Húr hosszának felére csökkentése: oktáv 2:1 oktáv; 3:2 nagy kvint; 4:3 kvart; és egyéb arányok: 3:1, 4:1 Az egész világban (ahol harmónia van) ott vannak a számok? A 18. századig fennmaradó hagyomány (nyomaiban ma is!)

A reneszánsz szimmetria-fogalma Szün + metria: együtt-mérhetőség, összemérhetőség A korai görög matematika egyik legfontosabb fogalma: mennyiségek (szakaszok) összemérhetők, ha van hozzájuk közös mérték (azaz viszonyuk felírható (egész) számok arányaként), pl. a négyzet oldala nem összemérhető az átlóval tágabb értelemben egy ábra (rendszer) szimmetrikus, ha részei matematikai arányban állnak egymással, vagyis az elrendezését matematikai harmónia vezérli

Marcus Vitruvius Pollio (római építész, i.e. 1. sz.): „A szimmetria egy mű részeinek megfelelő elrendezése, valamint a részeknek és általában az egésznek a viszonya, egy bizonyos részhez mint mércéhez képest. Így például az emberi testben egyfajta szimmetrikus harmónia áll fenn az alkar, a láb, a tenyér, az ujj és egyéb kis részek között; és ugyanez a helyzet a tökéletes épületekkel is.” (Vitruvius: Tíz könyv az építészetről) „Az arány a teljes mű részeinek mértékei közti, illetve az egész és egy mércéül szolgáló része közti megfelelés. Ebből származnak a szimmetria elvei.” (Ugyanott, a templomépítés alapelveiről)

Leonardo (1452-1519) illusztrációja Vitruvius könyvéhez: „A vitruviánus ember” (1492) „örömömre szolgálna, ha tartózkodna a monstrózus (szörnyszerű) dolgoktól, mint amilyen a hosszú lábak és a rövid törzs kombinációja, vagy hosszú karok a keskeny mellkas mellett…” (Leonardo)

Szörnyek Hieronymus Boschnál (~1450-1516)

Albrecht Dürer (1471-1528): „Mindenek felett meg kell találnunk a részek legbiztosabb és legmegfelelőbb közös mértékét. Ha ez sikerült, akkor kitartóan és állhatatosan követve ennek rendjét megformálhatjuk az egyes részeket, kicsiket és nagyokat, a szépség megragadásával közeledve a tökéletességhez.” (Dürer: Négy könyv az emberi arányokról) Ez a könyv „forgóajtó a matematika temploma és a piactér között” (Panofsky): megismerteti a kádárokat és asztalosokat Eukleidésszel és Ptolemaiosszal, a matematikusokat pedig a „műhelygeometriával”

Dürer ábrái (1528): az emberi test matematikai harmóniája („Őszintén óhajtjuk, hogy a részek arányosak legyenek egymással, nem pedig rosszul és esztelenül összedobálva.”)

A kopernikuszi rendszer legfőbb előnye Kopernikusz a De revolutionibus előszavában (III. Pál pápának ajánlva), a ptolemaioszi csillagászat művelőiről: „Arra sem voltak képesek, hogy felfedezzék vagy levezessék a legfontosabb belátást, vagyis az univerzum szerkezetét és részeinek valódi szimmetriáját. Ellenben pontosan úgy jártak el, mint aki különböző helyekről vesz kezeket, lábakat, fejet és más részeket, melyek gyönyörűen vannak ugyan megformálva, de nem ugyanahhoz a testhez tartoznak és így nem felelnek meg egymásnak – az ilyenekből inkább egy szörnyet, semmint embert lehet összeállítani.”

„A rendezettség mögött tehát a kozmosz csodálatos szimmetriája rejtőzik. Tiszta harmónia uralkodik a szférák mozgásában és méretében, mely másképpen fel sem fogható. Így ugyanis érthetjük, miért nagyobb a Jupiter progressziója és retrogressziója, mint a Szaturnuszé, ám kisebb, mint a Marsé (…) valamint azt is látjuk, hogy az ilyen oszcillációk miért gyakoribbak a Szaturnusznál, mint a Jupiternél (…) (…) Mindezen jelenségek ugyanazon okból következnek, vagyis a Föld mozgásából.” (De revolutionibus, I/10) A Föld mozgása az a mérték, amivel a kozmosz harmonikus rendszerének többi része mérhető és egyáltalán felfogható. (Organisztikus felfogás) → A matematikai elrendezés mindent magyaráz

Kepler és a matematika Tőle várnánk, hogy megváltoztatja a képet. Kepler-törvények: az empirikus adatok matematikai kezelése nyomán Valójában az alapkérdés: a kozmosz szimmetriája (vagyis matematikai harmóniája) Pl. miért pont akkora a szférák közti távolság, mint amekkora Négyzetes, köbös, stb. sorozatokat keres (Timaiosz) Ugyanez, csak feltéve láthatatlan bolygók létét (ld. Ellenföld) Egyéb numerikus összefüggések (pl. szinuszos → erők) Felfedezés: a Jupiter és Szaturnusz szférája közé szabályos háromszög szerkeszthető → próba: Mars-Jupiter közé négyzet, Föld-Mars közé ötszög, stb. → a vitruviusi hagyomány (geometriai emberértelmezés) a makrokozmoszra alkalmazva!

5. Szabályos testek a szférák között: Platón, Timaiosz: ezek az anyagi világ végső építőkövei (az öt elem ezekből épül fel) Eukleidész, Elemek: a 13. könyv ezekről szól (+ a 14-16. is, de azok nem eredetiek), a geometria „koronája” (ráadásul gömbbe és gömb köré szerkesztések) Nyilván a reneszánsz imádja őket, pl. Leonardo ábrái Luca Pacioli Divina proportione (1509) című könyvéhez:

Kepler ábrái a „világ harmóniájáról” (Először: Mysterium Cosmographicum, 1597)

„Feltett szándékom, Olvasó, hogy ebben a könyvecskében bebizonyítsam: amikor Isten, a Nagy Teremtő megteremtette a mozgó kozmoszt és elrendezte az egeket, akkor arra az öt szabályos testre gondolt, melyeknek olyan nagy a híre Püthagorasz és Platón óta napjainkig, és úgy választotta meg az egek számát, arányait és mozgásrendszerét, hogy azok megfeleljenek e testek mozgásának.” (Mysterium Cosmographicum, 1597) „szinte minden azóta megjelent asztronómiai munkám e könyvecske egyik vagy másik főbb fejezetéhez köthető, akár úgy, mint illusztráció, akár úgy, mint továbbgondolás” (második kiadás, 1621)

Kepler ezenkívül lekottázza a szférák zenéjét: Harmonices Mundi, 1619 Miközben itt olvasható először Kepler 3. törvénye Ami persze válasz az eredeti felvetésre: matematikai harmónia uralkodik a szférák távolságában

A 17. század A matematika alkalmazhatósága vitatott Csak a hagyományos területeken (csillagászat, optika, zene) és a hagyományos módon (geometria?) Vagy a földi fizikában is (Galilei, Newton), egyre nagyobb jelentőséget tulajdonítva a mérésnek (a geometrián kívül megjelenik az algebra és az analízis is) → Descartes: analitikus geometria Vagy általánosan használható ugyan, de nem mérés, hanem metafizikai feltevések alapján (aritmológia, hermetikus, kabbalista felfogás)

Irodalom F. Hallyn: The Poetic Structure of the World. Zone Books, NY, 1990. Szabó Á.: A görög matematika kibontakozása. Magvető, 1978. ?