Matematikai Statisztika VIK Doktori Iskola A FEHÉRZAJ Matematikai Statisztika VIK Doktori Iskola

Az idősormodellek maradéktagja A fehérzaj (white noise) vagy más néven véletlen zaj: olyan tetszőleges eloszlású - additív modellek esetén zérus, multiplikatív modellek esetén pedig egységnyi várható értékű - nem periodikus zaj (folyamat), melynek spektruma egy adott frekvenciasávban közel azonos teljesítmény-sűrűségű (azaz spektrális energia-eloszlása független a frekvenciától). Az elnevezés a fényre utal, mert a fehér fény teljesítmény-eloszlása is egyenletes a frekvencia mentén. A zaj több eltérő frekvenciájú és intenzitású jel zavaró összessége, amely a hasznos jelre szuperponálódik és elfedi annak információ-tartalmát.

Az idősormodellek maradéktagja „Valódi" – a teljes végtelen frekvenciatartományban értelmezett – fehérzaj nem létezik, csak valamilyen véges frekvenciatartományban teljesülhetnek az előbbi feltételek. A fehérzaj gyakran – de nem feltétlenül – normális eloszlású. Ha a normalitás feltételezhető, a folyamat leírása egyszerűbb.

Példa: egy normális eloszlású fehérzajra .

Példa: egy 768 lépéses fehérzaj időfüggvénye Amplitudó  . Idő (sorszám) 

Frekvencia (nullától a mintavételi frekvencia feléig)  Példa: az előbbi 768 lépéses fehérzaj periodogramja Power  . Frekvencia (nullától a mintavételi frekvencia feléig) 

Frekvencia (nullától a mintavételi frekvencia feléig)  Példa: egy 768 lépéses fehérzaj periodogramjának „simított” változata Power  . Frekvencia (nullától a mintavételi frekvencia feléig) 

Az idősor hibatagja, a fehérzaj

Példa generált fehér zajra

Példa generált fehér zajra A P-P diagrammok, grafikus tesztek a normalitás ellenőrzésére N=11041 N=100 N=1000

Próbák a fehérzaj felismerésére Az idősorok matematikai tárgyalását a nem változó idősorok kimutatására kidolgozott statisztikai próbák ismertetésével kezdjük. Ezek azért fontosak, hogy eldönthessük, hogy érdemes-e egyáltalán foglalkozni az elemzendő idősorral. Ha ugyanis az idősorunk korrelálatlan azonos eloszlású változók sorozata, nincs benne sem trend, sem ciklikusság, akkor nincs mit tennünk. A semmiből nem lehet kimutatni a valamit. Másrészt, ha már túl vagyunk egy bonyolult elemzésen és előállítottuk a becslést, a maradék idősorra elvégezve a fent említett próbákat bebizonyíthatjuk, hogy modellünk tartalmaz minden lényeges információt amit tudni lehet. A modell érvényességének elemzésekor ezt fontos elvégezni.

Váltakozáselemzés

Váltakozáselemzés

Váltakozáselemzés

Váltakozáselemzés

Váltakozáselemzés Próbastatisztika Az előző példában a próbastatisztika számított értékei a szignifikanciával

Csúcsmódszer

Csúcsmódszer i=1, ha vagy i=0, ha vagy

Csúcsmódszer

Csúcsmódszer A leírásban szereplő  idősor számolását végző szintaxis-program:

Csúcsmódszer

Csúcsmódszer

Csúcsmódszer A nullhipotézist, hogy a generált adatsor fehérzaj, minden mintaszámnál el lehet fogadni:

Előjelmódszer

Előjelmódszer

A portmentau-próba Ha fehérzajról van szó, akkor

A hibatag értékei korrelálatlanok Egyszerű véletlen mintavétel esetében ez a feltétel automatikusan teljesül. Ha a modell idősoros adatokra épül, gyakran előfordul a hibatagok autokorreláltsága. Autokorreláció oka: Nem megfelelő függvénytípus. Nem véletlen jellegű mérési hiba. A modellben nem szerepel valamennyi lényeges magyarázó változó (nem tudjuk, hogy kell / túl rövid idősor / nincs adat).

Autokorreláció grafikus tesztelése A reziduumok nem véletlenszerűek, hanem az egymást követő értékek között jelentős korreláció van. t t e Az autokorreláció a függvénytípus helytelen megválasztásának a következménye. t

Autokorreláció tesztelése Durbin-Watson próbával H0: ρ = 0 korrelálatlan H1: ρ ≠ 0 autokorreláció Határai: Pozitív autokorreláció: Negatív autokorreláció: Bizonytalansági tartomány: nem tudunk dönteni Növelni kell a megfigyelések számát Új változót kell bevonni a modellbe - zavaró autokorreláció + zavaró autokorreláció 0 dl du 2 4-du 4-dl 4 Elfogadási tartomány

A Durbin-Watson próba döntési táblázata H1 Elfogadjuk H0:p=0 Elvetjük Nincs döntés p>0 Pozitív autokorreláció d > du d < dl dl< d <du p<0 Negatív autokorreláció d < 4-du d > 4-dl 4-dl < d <4-du du illetve dl értékét a Durbin-Watson táblázatból határozzuk meg Forrás: Kerékgyártó-Mundruczó [1999]

Durbin-Watson statisztika (5%-os szignifikanciaszint mellett) dL dU 15 1,08 1,36 16 1,10 1,37 17 1,13 1,38 18 1,16 1,39 19 1,18 1,40 20 1,20 1,41 21 1,22 1,42 22 1,24 1,43 23 1,26 1,44 24 1,27 1,45 25 1,29 26 1,30 1,46 27 1,32 1,47 28 1,33 1,48 29 1,34 30 1,35 1,49 31 1,50 32 33 1,51 34 35 1,52 36 37 1,53 38 1,54 39 40 50 1,59 60 1,55 1,62 70 1,58 1,64 80 1,61 1,66 90 1,63 1,68 100 1,65 1,69 Forrás: Statisztikai képletgyűjtemény

Autokorreláció tesztelése Durbin-Watson próbával 0 dl du 2 4-du 4-dl 4 0,95 1,54 2,46 3,05 1,381 dl<d<du → nincs döntés → Növelni kell a megfigyelések számát!

Durbin-Watson próba - SPSS Analyze / Regression / Linear… - Statistics

Grafikus normalitásvizsgálat A lehetséges eloszlások: béta, Chi-négyzet , exponenciális, gamma, fél-normális, Laplace, Logisztikus, Lognormál, normális, pareto, Student-féle t,, Weibull, és egyenletes. A P-P ábrán az elméleti eloszlásfüggvény és az empirikus eloszlásfüggvény van összehasonlítva. A Q-Q ábrán látható pontok vízszintes tengelyhez tartozó koordinátái a változó tapasztalati kvantilisei, a függőleges tengelyen pedig a tesztelt eloszlás kvantilisei állnak. A jó illeszkedés esetén a pontok közel szóródnak az ábrán meghúzott egyenes körül!

Grafikus normalitásvizsgálat Hisztogramm a normális sűrűségfüggvénnyel

Grafikus illeszkedésvizsgálat

Grafikus illeszkedésvizsgálat

Grafikus illeszkedésvizsgálat

Grafikus illeszkedésvizsgálat

Grafikus illeszkedésvizsgálat

Grafikus illeszkedésvizsgálat

Illeszkedésvizsgálat próbával

Az illeszkedés nem fogadható el! Illeszkedésvizsgálat próbával Az illeszkedés nem fogadható el!

Egymintás Kolmogorov-Szmirnov próba Most ún. illeszkedésvizsgálatról van szó! ahol Ha a nullhipotézis igaz, a próbastatisztika aszimptotikusan Kolmogorov-eloszlást követ. A kritikus értéket ez alapján az eloszlás alapján határozzuk meg a szignifikancia szinthez. DÖNTÉS

Az empirikus eloszlásfüggvény és az elméleti eloszlásfüggvény átfedése 100 elemű minta esetén:

A Kolmogorov eloszlás

Példa egymintás Kolmogorov-Szmirnov próbára Normális eloszlást követ-e a fogyás?

Példa egymintás Kolmogorov-Szmirnov próbára

Példa egymintás Kolmogorov-Szmirnov próbára Jelentős nagyságú a szignifikancia szint, el kell hogy fogadjuk a nullhipotézist! A fogyás jól illeszkedik a normális eloszláshoz!