3. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE

3.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje + - +

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje + - + Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete általános formában

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal, e elemi töltés (1,602x10-19 C), elektron töltése -e r az elektron protontól való távolsága, vákuum permittivitás (8,854x10-12 Fm-1).

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete megoldható! A megoldás trükkje: polárkoordináta rendszert alkalmazunk.

r : vezérsugár : hajlásszög : azimut

Polárkoordináták transzformációja Descartes-koordinátákba

A Schrödinger-egyenlet megoldása Sajátérték n: főkvantumszám 1, 2, 3...

A hidrogénatom energiaszintjei

A Schrödinger-egyenlet megoldása Sajátfüggvények Három egész számot tartalmaznak

A Schrödinger-egyenlet megoldása Degenerált állapotok

A Schrödinger-egyenlet megoldása Degenerált állapotok Ha n megegyezik, de  és/vagy m nem, azok a H-atom degenerált állapotai

A hidrogénatom energiaszintjei

A sajátfüggvények alakja radiális rész anguláris (szögtől függő) rész

A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei

Lineár-kombinációk (ábrázolhatóság miatt)

A hidrogénatom valós hullámfüggvényei

A hidrogénatom Rn, radiális hullámfüggvényei

valószínűség burkológörbéje) A hidrogénatom hullámfüggvényei (90%-os tartózkodási valószínűség burkológörbéje)

3.2 A hidrogénatom színképe

Kiválasztási szabályok A 4. axiómából kiindulva lehet hozzájuk jutni.

1. szabály Energiamegmaradás

Átmeneti momentum dipólus-momentum operátor és állapotfüggvény 1-es index: kiindulási állapotban 2-es index: végállapotban

egy pozitív és egy negatív töltés Dipólus momentum d egy pozitív és egy negatív töltés - + q : a töltés d: a távolság; a negatív töltéstől a pozitív töltés irányába mutat

Több töltés esetén q : a töltés

Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok bármennyi bármennyi

A hidrogénatom színképe diszkrét vonalak!

Az atomos hidrogén spektruma

A hidrogénatom energiaszintjei

A hidrogénatom megengedett átmenetei

A hidrogénatom vonalszériái

3.3 A hidrogénatom elektronjának pálya-impulzusmomentuma

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A klasszikus mechanikában

három komponensének sajátértéke egyidejűleg nem „mérhető”.

Helyette „mérhető” és operátorok sajátértékei. Az utóbbiakra felírt sajátérték egyenletek megoldhatók.

sajátértékek mellék-kvantumszám L absz. értéke, hossza

sajátértéke m: mágneses kvantumszám L vetülete a z tengelyen

Minden L sajátértékhez Lz sajátérték tartozik.

Az -hoz tartozó pálya-impulzusmomentum térbeli kvantáltsága

3.4 Az elektron pálya-mágnesesmomentuma

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A klasszikus fizikában I : a köráram erőssége A : a körbejárt felület : a felületre merőleges egységvektor

Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az impulzusmomentummal!

Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon

A mágneses momentum operátora

és operátorok sajátérték-egyenletei oldhatók meg.

M abszolút értéke Bohr-magneton

A mágneses momentum z irányú vetülete m : mágneses kvantumszám

Mágneses térben levő részecske potenciális energiája Klasszikus fizika: Kvantummechanika : mágneses indukció

Zeeman-effektus

3.5 Az elektronspin

Stern-Gerlach-kísérlet

Ezüst-atom sugár kísérlet (hidrogénatommal a kísérlet nehezebb, de az eredmény ugyanaz.) Alapáll.: n =1; és m csak 0 lehet! nem térül el Eredmény: két irányba eltérül!!

Értelmezés Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik. Ez az impulzusmomentum a spin.

Spin operátor Jele: Sajátérték egyenletet lehet felírni absz. értékére és z irányú vetületre.

sajátértéke Ps : spinhez tartozó imp. momentum : spinre utaló mellékkvantumszám abszolút érték

sajátértéke : z irányú komponens

Spinből származó mágneses momentum abszolút érték z irányú komponens ge : Lande-faktor hidrogénatomban ge=2,0023

A spin operátorok sajátfüggvénye (közös a két operátoré)

A spin létezése nem kvantummechanikai axióma. Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)

Relativitáselmélet Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a fénysebességgel. Az elektron sebessége is összemérhető a fénysebességgel. Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a relativitáselmélettel.

A hidrogénatom Dirac-egyenletének megoldása E függ n-től nagyon és j-től picit belső kvantumszám : az elektronpálya impulzusmomentuma : a spin impulzusmomentuma ha s pálya p pálya d pálya

Spin-pálya felhasadás p pálya d pálya Ha 0-től eltér a mellék-kvantumszám, a belső kvantumszámnál az energiaszintek kétfelé hasasnak

A spin-pálya csatolás miatt felhasadnak az energiaszintek

Kiválasztási szabály

A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei „spin-koordináta”