Előadó: Szabó Márton (iwiw) Katalógus → házi feladatnak beszámít Jövő heti gyakorlat Nov. 16, péntek, 10:15, QBF10 Előadó: Szabó Márton (iwiw) Katalógus → házi feladatnak beszámít

Komplex hálózatok modellezése

Miért vizsgálunk hálózatokat? Hogyan keresed meg a kulcsod? Hogyan fedezed föl a vidámparkot? Hogyan terjednek a járványok?

Ismétlés: átmérő  

Ismétlés: kisvilág-tulajdonság Két tetszőleges pont közötti átlagos távolság a hálózat átmérőjéhez képest kicsi Szociális hálózatok Internet A komplex hálózatokra igaz a kisvilág-tulajdonság

Ismétlés: fokszámeloszlás  

Ismétlés: skálafüggetlenség A fokszámeloszlás hatványfüggvényt követ  

Ismétlés: klaszterezettség Globális klaszterzettség: 𝐶= 3 ∗ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔𝑒𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎 Lokális: i csúcsra vonatkozóan (ki: i fokszáma, Ni: a szomszédai közt hány él megy) 𝐶𝑖= 𝑖 𝑠𝑧𝑜𝑚𝑠𝑧é𝑑𝑎𝑖 𝑘ö𝑧𝑡 ℎá𝑛𝑦 é𝑙 𝑚𝑒𝑔𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑛𝑦𝑖 𝑙𝑒ℎ𝑒𝑡𝑛𝑒 = 𝑁𝑖 𝑘𝑖 (𝑘𝑖−1)/2 = 2∗ 𝑁𝑖 𝑘𝑖 (𝑘𝑖−1) 𝐶 ′ =𝐶𝑖−𝑘 á𝑡𝑙𝑎𝑔𝑎= 𝐶𝑖 𝑛 ; nem pont ugyanaz a kettő! alacsony klaszterezettség magas klaszterezettség

Mi a cél? Olyan modellt találni, ami rendelkezik a komplex hálózatok tulajdonságaival. Kis átmérő Kisvilág Skálafüggetlen Nagy klaszterezettség Növekedés Mit jelentenek ezek pl. az WWW-ben?

Erdős-Rényi modell Az első próbálkozás: minden hálózat véletlen Kialakulás: 1950-es évek vége Erdős Pál, Rényi Alfréd: On random graphs (1959) Probabilistic method megalapozása Egy n csúcs teljes gráfban nincs egyszínű r-klikk

A G(n,p) gráf generálása  

Az ER modell A videókat frame-enként lejátszva látható, hogy a G(40,p) gráf hogyan alakul a p paraméter függvényében Figyeljük meg két kritikus pontot: megjelenik az óriáskomponens, majd összefüggő lesz a hálózat Óriáskomponens: nagyjából ahol n∗p=40, azaz p= 1 40 =0.025 környékén Hirtelen összefüggő lesz a hálózat: nagyjából p≈ ln 40 40 ≈0.092 környékén várhatjuk Lásd a határfüggvényekről szóló részt

Az ER tulajdonságai Átlagos fokszám Élek számának várható értéke: 𝑛 2 ⋅𝑝= 𝑛 𝑛−1 2 ⋅𝑝 Egy pont fokszámának várható értéke: n−1 ⋅p ≈ n p Átlagos fokszám : <k> = n−1 ⋅p ≈ n p Klaszterezettség 𝐶𝑟𝑎𝑛𝑑= <𝑘> 𝑛 = n−1 ⋅p 𝑛 ≈ p Nincs magas lokális klaszterezettség

Az ER modell tulajdonságai  

Az ER tulajdonságai   n=100, p=0.005 n=100, p=0.01 n=100, p=0.025

Az ER tulajdonságai   összefüggő nem öf.

Hol tartunk eddig Az ER egyszerűen leírható Szép tulajdonságok Analitikusan könnyen számolható Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság Nincs: Lokális klaszterezettség és lezárt háromszögek Bármely két csúcs egymástól függetlenül u.a. valséggel létezik -> alacson klaszterezettség Nem magyarázzák meg a hubok képződését A fokszámeloszlás a Poissonhoz tart, a hatványeloszlás helyett Nem skálafüggetlen Növekedés

A Watts-Strogatz modell Az ER modell hiányosságai: Kis lokális klaszterezettség, kevés háromszög Az éleket egymástól függetlenül, konstans valószínűségel húzzuk be → alacsony klaszterezettségi A hubok képződését nem magyarázza meg A fokszámeloszlás Poissonhoz tart – a hatványfüggvény helyett Watts-Strogatz: A legegyszerűbb modell, ami az 1. hiányosságot kiküszöböli Megmagyarázza a klaszterezettséget, miközben megtartja az ER-ből a rövid utakat Részben megmagyarázza a kisvilág jelenséget

A Watts-Strogatz modell Alapötlet: ismerősök hálózata Közeli ismerősök, akik jellemzően egymást is ismerik Néhány távoli ismerős A WS(N,p,K) gráf N a csúcsok száma K-reguláris a kiinduló gráf N >> K >> ln(N) >> 1 p az élek újrahúzásának (rewiring) valószínűsége

A Watts-Strogatz modell Algoritmus: Kiindulás: egy K-reguláris ring lattice N csúcson Sorban minden élet egymástól függetlenül p valószínűséggel áthúzunk máshova egyenletesen választunk a szabad helyekből ne legyen párhuzamos él és hurokél

A WS modell n=30, k=6 gráfból kiindulva: P=0.2 P=0.4 p=0.7 p=1

Finomhangolás p-vel p = 0 p ~ 1

A WS modell hátulütői 1. Fokszámeloszlás Watts-Strogatz Valós hálózat Átl. k = K, P(k) ~ Poisson(k) Valós hálózat P(k) ~ k -γ

A WS modell hátulütői 2. Mechanizmus A WS feltevései: Fix N db pont Pedig hálózatok folyton nőnek vagy elfogynak Minden élet egyforma p valószínűséggel cserélünk ki egy újra Ez sem hangzik túl jól, a gazdag egyre gazdagabb lesz??

Hol tartunk eddig A WS jól megmagyarázza a klaszterezettséget Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság Klaszterezettség Nem magyarázzák meg a hubok képződését Még mindig nem skálafüggetlen Növekedés Preferenciális kapcsolódás

Preferenciális kapcsolódás Egy nemzetségen (nem) belül a fajok számának növekedése Canis sujtásos sakál (Canis adustus) aranysakál (Canis aureus) prérifarkas  (Canis latrans) szürke farkas  (Canis lupus) panyókás sakál (Canis mesomelas) vörös farkas vagy rőt farkas (Canis rufus) abesszin farkas más néven kaber, etióp róka vagy etióp sakál (Canis simensis) óriásfarkas (Canis dirus) - kihalt. A gazdag egyre gazdagabb lesz

Barabási-Albert modell Kiindulás Egy néhány (≥2) csúcsból álló gráf, amiben nincs izolált pont Építkezés Minden lépésben egy új csúcsot veszünk hozzá + m új élet Egy már meglévő csúcshoz 𝑝𝑖= 𝑘𝑖 𝑗 𝑘𝑗 valószínűséggel kapcsolódik Arányos a fokszámmal Nagyobb fokszámú csúcshoz nagyobb eséllyel kapcsolódik (preferenciális kapcsolódás)

BA modell 20 csomópontig növekedik Preferenciális kapcsolódás

Nem elég-e kevesebb? A modell: csak növekedés Elindulunk egy néhány csúcsból álló gráfból Minden lépésben beveszünk egy új csúcsot + m élet Minden új élnek egyenletesen választjuk a végpontját a meglevő csúcsok között Exponenciális lecsengésű fokszámeloszlás Nem skálafüggetlen B modell: csak preferenciális kapcsolódás Indulás: N izolált csúcs, behúzunk 1 élet Minden lépésben vál. egy csúcsot, a már meglévő fokszámmal arányos valsózínűséggel hozzákötjük valamelyik másikhoz (𝑝𝑖= 𝑘𝑖 𝑗 𝑘𝑗 ) Kezdetben skálafüggetlennek tűnő eloszlás, egyre több él behúzásával normálishoz tart

A BA modell tulajdonságai Fokszámeloszlás P(k) ~ k-3 Valóban hatványfüggvény http://discopal.ispras.ru/images/c/c9/Barabasi-Albert_model.pdf Skálafüggetlen Kisvilág-tulajdonságú

A BA modell tulajdonságai Klaszterezettség Analitikusan nem lehet számolni Szimuláció: <k>=4 véletlen gráfokkal összehasonlítva Véletlen gráfokban: 𝐶𝑟𝑎𝑛𝑑= <𝑘> 𝑁 BA-ban: 𝐶𝐵𝐴 ~ 1 𝑁0.75 A hálózat méretével csökken Megfigyelt hálózatok: független a hálózat méretétől

Hol tartunk eddig A BA modell az eddigi legjobb próbálkozás Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság Skálafüggetlenség Növekedés Preferenciális kapcsolódás A klaszterezettség a hálózat méretével csökken Nem független

Összefoglalás Tulajdonság Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási-Albert Kis átmérő OK Kisvilág Klaszterezettség Nem Preferenciális kapcsolódás Növekedés Skálafüggetlen nov. 16. gyakorlat!