4. Folytonos wavelet transzformáció (CWT) –folytatás Speciálkurzus 2009 tavasz

Kérdések mennyire függ az eredmény a wavelet megválasztásától? szignifikánsak-e a talált csúcsok? a normalizáció korrekt-e? hogyan értelmezzük a kapott eredményeket? okoz-e problémát a konvolúció esetében annak periódikussága a DFT alkalmazásakor? hogyan viszonyul az analízis a Fourier transzformációhoz? inverz transzformáció?

Statisztikai hipotézisvizsgálat H0 nullhipotézis H1 ellenhipotézis (alternatíva) Statisztikai próba: Minta alapján döntünk a nullhipotézisről Ha a nullhipotézist elfogadjuk elutasítjuk H0 fennáll helyes döntés elsőfajú hiba (α) H0 nem áll fenn másodfajú hiba (β)

Konfidenciaszint A k elemű minta alapján meghatározunk egy tartományt: ha a H0 hipotézis igaz, csak egy előre adott igen kis α = 1 – p valószínűséggel (p: konfidenciaszint, általában 0,90; 0,95; 0,99) tartalmazza a mintát (kritikus tartomány) kiegészítő halmaza: (elfogadási tartomány) α β p = 1–α p’ = 1–β elfogadási tartomány H0-ra kritikus tartomány H0-ra H0 H1

Wavelet spektrum szignifikancia vizsgálata A nullhipotézis konstrukciójához először megfelelő háttér spektrumot kell választani: fehérzaj (minden frekvencián azonos energia) vörös zaj (a frekvencia csökkenésével növekvő energia) Ezután feltételezzük, hogy a sztochasztikus folyamat különböző realizációi e körül a várható (átlagos) háttér spektrum körül fognak ingadozni Ezek a várható spektrumok adnak lehetőséget a talált csúcsok szignifikancia vizsgálatára (adott konfidencia szinten)

Fehér/vörös zaj PSD Egyszerű modell: egyváltozós 1-késéses AR(1) autoregressziós (Markov) folyamat (speciális csak pólust tartalmazó IIR szűrő) α: 1-késéses autokorreláció (α = 0 érték: fehérzaj) zn: Gauss (normál) eloszlású fehérzaj PSD (ACF (ατ) FT-ja; k =0 ,..., N/2 frekvencia index):

AR(1) fehér/vörös zaj PSD (α = 0 érték: fehérzaj PSD) Mi legyen α értéke?

α becslése zaj PSD-hez Az AR(1) folyamat ACF függvénye egyszerű: ACF(xj) = α j 1. Becsüljük a folyamat ACF-et: 2. α –nak 1-es, 2-es, stb. időkésésekből számított α1 , α2 , stb. értékeinek az átlagát vesszük. pl.:

α becslése El Niño SST-re Matlab acf.m becsült α érték: 0.72

Illeszkedés az El Niño PSD-hez Matlab psd.m normalizáció: fehérzaj xn:

Illeszkedés az El Niño PSD-hez 95%-os konfidencia szint vörös zaj PSD

PSD konfidencia szint Ha xn normális eloszlású, az xk Fourier transzformáltjának mind valós, mind komplex része szintén normális eloszlású Normális eloszlású valószínűségi változó négyzete egy szabadsági fokú χ2 eloszlású Ekkor |xk|2 két szabadsági fokú χ2 eloszlású: χ22 A 95%-os konfidencia szint meghatározásához a fehér/vörös zaj háttér spektrum PSD-t a χ22 eloszlás 95%-os értékével szorozzuk Matlab: chi2inv(0.95,2): értéke 5.9915 ½ szorzó a szabadsági foktól való függést távolítja el a χ22 eloszlásból

Lokális wavelet PSD A Wn(s) wavelet transzformált az idősor sáváteresztő szűrő sorozattal történő szűrése Ha ez az idősor 1-késleltetésű AR folyamat, ésszerű azt feltételezni, hogy a lokális wavelet PSD (a wavelet spektrum egy vertikális „szelete”) szintén Pk-val modellezhető Torrence és Compo (1998) ezt a hipotézist 100 000 normális eloszlású fehérzaj és 100 000 AR(1) idősor felvételével tesztelték (Monte Carlo szimuláció) Eredmény: az átlagos lokális wavelet PSD azonos a Pk-val modellezett Fourier PSD-vel

Wavelet PSD konfidenciaszint A |Wn(s)|2 átlagos lokális wavelet PSD eloszlása minden n idő és s skála értékre (valós wavelet, pl. DOG esetében nincs ½ szorzó) Pk értéke az s skálának megfelelő k Fourier frekvencián számítandó ki (ez wavelet függő) A wavelet PSD simításával növelhető a szabadsági fok és javítható a konfidencia a spektrum jelentős jel energiájú részein

El-Niño SST konfidenciaszint Matlab: wavesst_signif.m wave_signif.m (Torrence és Compo) rajzolás:

El-Niño SST konfidenciaszint normalizációs probléma? úgy tűnik, hogy a wavelet spektrum túlzottan kiemeli az alacsonyabb frekvenciákat

Kérdések mennyire függ az eredmény a wavelet megválasztásától? szignifikánsak-e a talált csúcsok? a normalizáció korrekt-e? hogyan értelmezzük a kapott eredményeket? okoz-e problémát a konvolúció esetében annak periódikussága a DFT alkalmazásakor? hogyan viszonyul az analízis a Fourier transzformációhoz? inverz transzformáció?

Normalizáció – anya wavelet anya wavelet FT egységnyi energiára normalizált: Parseval egyenlőség miatt ψ0 is energiára normalizált: az anya waveletet átskálázzuk: illetve:

Normalizáció – leány wavelet az átskálázott leány wavelet megőrzi normalizációját: illetve miatt is normalizált a Fourier transzformáció skálázási összefüggése miatt a leány wavelet normalizált transzformáltja:

Normalizáció – diszkrét eltolás diszkrét n eltolással a normalizált leány wavelet FT: ezzel mindegyik s skálára: Matlab wave_bases.m: norm = (2πs/δt)1/2 Matlab wavelet.m: k(2) = 2π / (N δt)

Wavelet teljesítmény spektrum Torrence és Compo (1998) definíciója (szokásos): wavelet teljesítmény spektrum (power spectrum) Liu et al. alternatív definíciója: Liu et al.(2007):Rectification of the Bias in the Wavelet Spectrum, Journal of Atm. Oceanic Techn. Vol.24, pp. 2093-2102 a skála inverzével van szorozva

Normalizáció teszt 3 szinuszhullám azonos (egységnyi) amplitúdóval de különböző T periódussal: Matlab sin3.m:

Normalizáció teszt 1. Torrence és Compo (1998) definíciójával közel sem azonosak

Normalizáció teszt 2. Liu et al. (2007) definíciójával közel azonosak peremhatás

Korrigált El Niño SST spektrum a) torzított b) korrigált de van egy bökkenő...

Fehérzaj korrigált spektruma a fehérzaj korrigált spektruma nem azonos teljesítményű az összes frekvencián! Matlab: wn.m tehát a szignifikancia vizsgálathoz a nem korrigált érték kell!